克萊姆法則

克萊姆法則或克拉瑪公式（英語：）是一個線性代數中的定理，用行列式來計算出線性等式組中的所有解。這個定理因加百列·克萊姆（1704年 - 1752年）的卓越使用而命名。在計算上，並非最有效率之法，因而在很多條等式的情況中沒有廣泛應用。不過，這一定理在理論性方面十分有效。

基本方程

一個線性方程組可以用矩陣与向量的方程來表示：

Ax=c\,\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)

其中的 $A$ 是一个 $n\times n$ 的方塊矩陣，而向量 $x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}$ 是一个长度为n的行向量(中國大陸為列向量）。 $c=(c_{1},c_{2},\cdots c_{n})^{T}$ 也一样。

克莱姆法则说明：如果 $A$ 是一个可逆矩陣（ $\det {A}\neq 0$ ），那么方程(1)有解 $x=(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})^{T}$ ，其中

$x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}$ (1)

当中 $x_{i}$ 是列向量 $x$ 的第i行（行向量与列向量不一样，解释默认列向量）

當中 $A_{i}$ 是列向量 $c$ 取代了 $A$ 的第i列后得到的矩阵。為了方便，我們通常使用 $\Delta$ 來表示 $\det(A)$ ，用 $\Delta _{i}$ 來表示 $\det(A_{i})$ 。所以等式(1)可以寫成為：

x_{i}={\Delta _{i} \over \Delta }\,

。

抽象方程

設 $R$ 為一個環， $A$ 就是一個包含 $R$ 的系數的 $n\times n$ 矩陣。所以：

\mathrm {adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,

當中 $\det(A)$ 就是 $A$ 的行列式，以及 $I$ 就是單位矩陣。

證明概要

对于 $n$ 元线性方程组 $Ax=c$

把系数矩阵 ${\begin{smallmatrix}A\end{smallmatrix}}$ 表示成行向量的形式

$A=\left(u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n}\right)$

由于系数矩阵可逆，故方程组一定有解 $x^{*}=A^{-1}c$ .

设 $x^{*}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})^{T}$ ，即

$Ax^{*}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k}=c$

考虑 $\Delta _{i}$ 的值，利用行列式的線性和交替性質，有

${\begin{aligned}\Delta _{i}&=det\left(\cdots ,u_{i-1},c,u_{i+1},\cdots \right)\\&=det\left(\cdots ,u_{i-1},\sum _{k=1}^{n}x_{k}u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{k},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\cdot det\left(\cdots ,u_{i-1},u_{i},u_{i+1},\cdots \right)\\&=x_{i}\Delta \end{aligned}}$

于是

$x_{i}={\frac {\Delta _{i}}{\Delta }}$

例子

运用克萊姆法則可以很有效地解決以下方程组。

已知：

ax+by={\color {red}e}\,

cx+dy={\color {red}f}\,

使用矩陣來表示時就是：

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}

当矩阵可逆时，x和y可以從克萊姆法則中得出：

x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}

以及

y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}

用3×3矩陣的情況亦差不多。

已知：

ax+by+cz={\color {red}j}\,

dx+ey+fz={\color {red}k}\,

gx+hy+iz={\color {red}l}\,

當中的矩陣表示為：

{\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}

当矩阵可逆时，可以求出x、y和z：

x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}

、

y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}

以及

z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}

微分幾何上的應用

克萊姆法則在解決微分幾何的问题时十分有用。

先考慮兩條等式 $F(x,y,u,v)=0\,$ 和 $G(x,y,u,v)=0\,$ 。其中的u和v是需要考虑的变量，并且它们互不相关。我們可定義 $x=X(u,v)\,$ 和 $y=Y(u,v)\,$ 。

找出一條等式適合 $\partial x/\partial u$ 是克萊姆法則的簡單應用。

首先，我們要計算 $F$ 、 $G$ 、 $x$ 和 $y$ 的導數：

dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0

dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0

dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv

dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv

將 $dx$ 和 $dy$ 代入 $dF$ 和 $dG$ ，可得出：

dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0

dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0

因為 $u$ 和 $v$ 互不相关，所以 $du$ 和 $dv$ 的系數都要等於0。所以等式中的系數可以被寫成：

{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}

{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}

{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}

{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}

現在用克萊姆法則就可得到：

{\cfrac {\partial x}{\partial u}}={\cfrac {\begin{vmatrix}-{\cfrac {\partial F}{\partial u}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\-{\cfrac {\partial G}{\partial u}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\cfrac {\partial F}{\partial x}}&{\cfrac {\partial F}{\partial y}}\\{\cfrac {\partial G}{\partial x}}&{\cfrac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}

用兩個雅可比矩陣來表示的方程：

{\cfrac {\partial x}{\partial u}}=-{\cfrac {\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\cfrac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}

用類似的方法就可以找到 ${\frac {\partial x}{\partial v}}$ 、 ${\frac {\partial y}{\partial u}}$ 以及 ${\frac {\partial y}{\partial v}}$ 。

基本代數上的應用

克萊姆法則可以用來證明一些線性代數中的定理，當中的定理對環理論十分有用。

線性規劃上的應用

克萊姆法則可以用來證明一個線性規劃問題有一個基本整數的解。這樣使得線性規劃的問題更容易被解決。

缺点

克莱姆法则在电子计算机出现后，被认为是难以实际用于计算的。当使用克莱姆法则计算一个 $n$ 阶线性方程组时，所需乘法次数为 $(n+1)!$ 次。例如求解25阶线性方程组时，总计乘法次数需要 $26!$ （即4.03×10²⁶）次，若计算机每秒能计算100亿次，所需时间约12.79亿年。相比之下，高斯消元法只需3060次乘法，对计算机而言易如反掌。[1]

參考文獻

张宏伟，金光日，施吉林，董波 (编). 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 3. ISBN 9787040365955.

外部链接

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[ZhangHW-1] 张宏伟，金光日，施吉林，董波 (编). 2013年第2版. 北京: 高等教育出版社. 2005: 3. ISBN 9787040365955.