克鲁斯卡尔坐标系

图1——坐标

考虑在球坐标系下的史瓦西度规

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

其中

${\displaystyle d\Omega ^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$

是二维球面${\displaystyle S^{2}\,}$的线元。

将时间坐标${\displaystyle t\,}$和径向坐标${\displaystyle r\,}$做如下代换：

• 对于视界外部${\displaystyle r>2GM}$的区域，

${\displaystyle T=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle R=\left({\frac {r}{2GM}}-1\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

• 对于视界内部${\displaystyle 0<r<2GM}$的区域，

${\displaystyle T=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

${\displaystyle R=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \left({\frac {t}{4GM}}\right)}$

在这些坐标下，史瓦西度规由下式给出：

${\displaystyle ds^{2}={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dR^{2})+r^{2}d\Omega ^{2},}$

其中${\displaystyle r\,}$的定义被隐含在

${\displaystyle T^{2}-R^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\right)e^{r/2GM}}$

或等价于

${\displaystyle {\frac {r}{2GM}}=1+W\left({\frac {R^{2}-T^{2}}{e}}\right)}$

其中${\displaystyle W\,}$是朗伯W函数。

这组由${\displaystyle \left(T,R,\theta ,\phi \right)\,}$构成的坐标系称作坐标系，有时也称作坐标系。

图3——最大延伸的史瓦西解所包含的四个不同时空

对于球坐标系下的史瓦西解而言，存在物理意义的径向坐标的范围是${\displaystyle 0<r<\infty \,}$，且${\displaystyle r\neq 2GM\,}$；但从上节我们已经看到在坐标系中，在避免撞上奇点${\displaystyle r=0\,}$的前提下所允许的的范围是从负无穷大到正无穷大，并且${\displaystyle T^{2}-R^{2}<1\,}$。在图中所描述的史瓦西解被称作最大延伸的史瓦西解（），从图3中可以看到它包含有通过视界${\displaystyle r=2GM\,}$分割的四个不同的时空：

I	我们的宇宙	${\displaystyle T^{2}-R^{2}<0}$ 且 ${\displaystyle R>0}$	${\displaystyle 2GM<r}$
II	黑洞视界内部	${\displaystyle 0<T^{2}-R^{2}<1}$ 且 ${\displaystyle T>0}$	${\displaystyle 0<r<2GM}$
III	白洞视界内部	${\displaystyle 0<T^{2}-R^{2}<1}$ 且 ${\displaystyle T<0}$	${\displaystyle 0<r<2GM}$
IV	镜像宇宙	${\displaystyle T^{2}-R^{2}<0}$ 且 ${\displaystyle R<0}$	${\displaystyle 2GM<r}$

• 区域——史瓦西几何中${\displaystyle r>2GM\,}$的时空，也就是黑洞视界以外，我们的渐进平直时空。
• 区域——史瓦西几何中${\displaystyle r<2GM\,}$的时空，也就是史瓦西黑洞的内部。任何从区域经过视界${\displaystyle r=2GM\,}$到达区域的物体都无法返回区域，并且它们的最终命运都是撞上奇点${\displaystyle r=0\,}$。
• 区域——史瓦西几何中${\displaystyle r<2GM\,}$区域的时间反演，也就是说物体可以从区域经过视界到达区域，但它们都无法返回区域。这就是理论上一个白洞的物理概念：白洞具有一个类似于宇宙大爆炸那样的过去的奇点，同时具有过去的视界（相对于区域中未来的奇点和未来的视界）。
• 区域——同样作为${\displaystyle r>2GM\,}$的渐近平直时空，却不能通过时间流逝或反演从区域到达区域，或者反过来从区域到达区域，这是我们宇宙的一个镜像。在理论上，能够在这两个宇宙间建立联系的方法是虫洞（爱因斯坦-罗森桥）。假设将图上所描述的时空以为常数切成多个类空的表面，则在史瓦西几何中能够在短时间内存在一个连接两个渐进平直时空的虫洞。但在理论上，这个虫洞的敞开时间太短以至于任何类时的观察者都无法通过虫洞到达镜像时空中。

• 史瓦西度规
• 彭罗斯图

• 第32.6节
• 第5.7节