全称量化

要表达“2乘以所有自然数都等于该自然数和自己相加的和”，一种方式的是：

${\displaystyle 2\times 0=0+0}$，且${\displaystyle 2\times 1=1+1}$，且${\displaystyle 2\times 2=2+2}$，且${\displaystyle 2\times 3=3+3}$，以此类推。

因为使用了“且”一词，这看上去是逻辑合取。然而形式逻辑中的合取概念却不能表达出“以此类推”一词的含义。

因此将该命题改述为

对于任意自然数${\displaystyle n}$，${\displaystyle 2\times n=n+n}$。

这便是一个使用全称量化的单一命题。该命题比原命题更精确，因为“以此类推”一词想表示的是要包括所有的自然数、且除此之外不包括任何其它内容，但语言中并没有明确地陈述这点，这便是“以此类推”一词不能被形式地解释的根本原因。

这个新命题为真，因为任何自然数${\displaystyle n}$都使命题${\displaystyle 2\times n=n+n}$成立。反之，命题“对任何自然数${\displaystyle n}$，都有${\displaystyle 2\times n>2+n}$则为假，因为当${\displaystyle n}$取1时，${\displaystyle 2\times 1>2+1}$便不成立。尽管大多数自然数${\displaystyle n}$都满足${\displaystyle 2\times n>2+n}$，但存在至少一个反例足以举证全称命题为假。

然而，“对任何合数${\displaystyle n}$，都有${\displaystyle 2\times n>2+n}$”是真命题，因为所有的反例均不是合数。这说明了论域的重要性——确定变量${\displaystyle n}$的取值范围。 限制存在量化的论域要使用逻辑条件。例如“对任何合数${\displaystyle n}$，都有${\displaystyle 2\times n>2+n}$”逻辑等价于“对任何自然数${\displaystyle n}$，如果${\displaystyle n}$为合数，则${\displaystyle 2\times n>2+n}$”。这里“如果……则”的句子构造出了逻辑条件。

在符号逻辑中，使用全称量词“∀”（倒置的无衬线体字母“A”）来表示全称量化。所以如果${\displaystyle P(n)}$是谓词“${\displaystyle 2\times n>2+n}$”，而${\displaystyle \mathbb {N} }$则是自然数集，那么有

${\displaystyle \forall {n}{\in }\mathbb {N} \,P(n)}$

表示的是假命题“对任何自然数${\displaystyle n}$，都有${\displaystyle 2\times n>2+n}$”。

类似地，若命题${\displaystyle Q(n)}$陈述的是“${\displaystyle n}$为合数”，那么有

${\displaystyle \forall {n}{\in }\mathbb {N} \,Q(n)\;\!\;\!{\rightarrow }\;\!\;\!P(n)}$

表示的是真命题“对任何合数${\displaystyle n}$，都有${\displaystyle 2\times n>2+n}$”。

圆括号也有时用来表示全称量化。

${\displaystyle (n{\in }\mathbb {N} )\,P(n)}$

• Hinman, P. . A K Peters. 2005. ISBN 978-1-56881-262-5.
• Franklin, J. and Daoud, A. . Quakers Hill Press. 1996. ISBN 978-1-876192-00-6.（ch. 2）

• 存在量化（∃，there exists）
• 量化 (数理逻辑)
• 絕對的普遍性——假如全稱量化的範圍為絕對一切事物