全等三角形

這兩個三角形可以用 SSS 來驗證全等。

如右圖

	${\displaystyle \triangle ABC}$	${\displaystyle \triangle CDA}$	原因
邊（一）	${\displaystyle {\overline {AC}}}$	${\displaystyle {\overline {CA}}}$	共用邊
邊（二）	${\displaystyle {\overline {BC}}}$	${\displaystyle {\overline {DA}}}$	已知
邊（三）	${\displaystyle {\overline {AB}}}$	${\displaystyle {\overline {CD}}}$	已知

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle CDA\,\!}$

此时三边已知，三个角可分别由余弦定理计算，由于 ${\displaystyle \cos {}}$ 在 0°到 180°之间是单调的，所以 ${\displaystyle \arccos {}}$可保证解出唯一值。

這兩個三角形可以用 SAS 驗證全等。

如右圖

	${\displaystyle \triangle ABC}$	${\displaystyle \triangle ADC}$	原因
邊（一）	${\displaystyle {\overline {AC}}}$	${\displaystyle {\overline {AC}}}$	共用邊
角	${\displaystyle \angle BAC}$	${\displaystyle \angle DAC}$	已知
邊（二）	${\displaystyle {\overline {AB}}}$	${\displaystyle {\overline {AD}}}$	已知

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle ADC\,\!}$

此时两边夹一角已知，首先用余弦定理计算第三边，接下来与 SSS 的情况相同。

這兩個三角形可以用 ASA 來驗證全等。

如右圖

	${\displaystyle \triangle ABC}$	${\displaystyle \triangle AED}$	原因
角（一）	${\displaystyle \angle BAC}$	${\displaystyle \angle EAD}$	共用角
邊	${\displaystyle {\overline {AC}}}$	${\displaystyle {\overline {AD}}}$	已知
角（二）	${\displaystyle \angle ACB}$	${\displaystyle \angle ADE}$	已知

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle AED\,\!}$

此时两角夹一边已知，通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。

這兩個三角形可以用 RHS 來驗證全等。

RHS 判定定理在直角三角形中專用，也称“HL”。即為直角三角形中的 SSA，也稱為斜股性質。如右圖

	${\displaystyle \triangle {ABC}}$	${\displaystyle \triangle {DFE}}$	原因
直角	${\displaystyle \angle ACB}$	${\displaystyle \angle DEF}$	已知
斜邊	${\displaystyle {\overline {AB}}}$	${\displaystyle {\overline {DF}}}$	已知
邊	${\displaystyle {\overline {BC}}}$	${\displaystyle {\overline {FE}}}$	已知

${\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DFE\,\!}$

勾股定理，或是直接連兩边的頂端解出剩下一边，即变成 SSS 或 SAS。

用 AAA 不能驗證三角形全等。

AAA（角、角、角），指兩個三角形的任何三個角都對應地相同。但這不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在幾何學上，當兩條線疊在一起時，便會形一個點和一個角。而且，若該線無限地廷長，或無限地放大，該角度都不會改變。同理，在左圖中，該兩個三角形是相似三角形，這兩個三角形的關係是放大縮小，因此角度不會改變。

這樣，便能得知若邊無限地根據比例加長，角度都保持不變。因此，AAA 並不能判定全等三角形。

从正弦定理的角度看，${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R}$

这个比例的比值可以任意缩放，因此无法唯一确定三边长度。

用 SSA 不能驗證三角形全等。

SSA（邊、邊、角），也稱為 ASS ，指兩個三角形的任一角及另外兩個沒有夾著該角的邊相等。但這不能判定全等三角形。

在右圖中，分別有三角形 ABC 及三角形 DEF ，並提供了以下信息：

• ${\displaystyle \angle BAC=\angle EDF}$
• ${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {DE}}}$
• ${\displaystyle {\overline {BC}}={\overline {EF}}}$

这即是 SSA。假如在右圖繪畫一個圓形，中心點為點E，半徑為${\displaystyle {\overline {EF}}}$。通過這個圓形便會發現：在${\displaystyle \angle EDF}$和${\displaystyle {\overline {DE}}}$沒有改變的情况下，會出現另一個與${\displaystyle {\overline {EF}}}$一樣長度的直線（即圖中的${\displaystyle {\overline {EG}}}$）。這樣便能證明 SSA 並不能驗證全等三角形，（除非已知${\displaystyle {\overline {BC}}>{\overline {AB}}}$。當是直角三角形時應稱為RHS）。

雖然如此，當${\displaystyle \angle BAC}$ ≥ 90°時，${\displaystyle \angle BAC>\angle ACB}$。又${\displaystyle \angle BAC>\angle ACB}$⇔${\displaystyle {\overline {BC}}>{\overline {AB}}}$，${\displaystyle {\overline {BC}}>{\overline {AB}}}$，故可驗證全等三角形。

再次使用正弦定理，${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R}$

其中已知 ${\displaystyle a={\overline {DE}}}$、${\displaystyle c={\overline {EG}}={\overline {EF}}}$ 和 ${\displaystyle \alpha =\angle D}$，可解出 ${\displaystyle \sin {\gamma }}$，但 ${\displaystyle \sin {}}$ 在 0°到 180°上先升后降导致 ${\displaystyle \arcsin {}}$ 有两解，即 ${\displaystyle \gamma }$ 可能是钝角或锐角（或退化为只有一解是直角的特殊情况，此处略去），分别对应图中的 ${\displaystyle \angle DGE}$ 和 ${\displaystyle \angle DFE}$，然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时，可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 ${\displaystyle \gamma }$，此时做减法得出 ${\displaystyle \beta }$ 后即可用余弦定理解得最后一边 ${\displaystyle B}$。

2016年，循道中學的校園電台在學校錄製了一首名叫《S.A.S.》的歌曲，由校內三名學生主唱。創作概念是來自該學校的數學老師想令學生記得全等三角形的驗證方法。歌詞由上述老師於2014年創作，歌曲改編自1970年代德國流行樂隊 Silver Convention 歌曲《Fly, Robin, Fly》。

2016年4月18日，5分鐘的短片上傳到學校非官方Facebook專頁《MCKLN Secrets》後，因為歌詞重覆全等三角形的其中四個驗證方法，以及重覆有關的舞蹈動作[1]而瞬間爆紅。其歌詞為：

影片首日上載吸引超過80萬次點擊觀看，而且被刊登於不同報刊，更被譽為「洗腦數學神曲」[2]，以致被網民惡搞。關注社會基建工程等的本土研究社亦為此曲再填詞，製作了《嘥嘥嘥》短片，批評政府浪費公帑[3]。