直角三角形

和其他三角形相同，直角三角形的面積等於任一邊（底邊）乘以對應高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角邊）為底邊，另一股即為對應的高，因此面積為二股直角邊乘積的一半，面積T的公式為

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}$

其中a和b是直角三角形的二股。

若內切圓和斜邊AB相切於P點，令半周長${\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}$為s，則${\displaystyle PA=s-a}$且${\displaystyle PB=s-b}$，面積可表示為

${\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}$

此公式只適用在直角三角形[3]。

直角三角形的高

若在直角三角形有直角的頂點處作往斜邊的高，可以將三角形切割成二個較小的三角形，兩者均和原三角形相似，且二個小三角形彼此相似。因此：

• 高為斜線切割出的二線段的幾何平均數。
• 各股是直角三角形的高和斜線切割出的二線段中相鄰部份的幾何平均數。

若以方程式表示

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}$（有時稱為直角三角形高定理）

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}$

其中${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$均如圖所示[4]^:p.156。

三角形的面積等於底邊乘高除二，也等於二股乘積除二，兩者相等，因此

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$。

斜邊上的高和兩股還有以下的關係[5][6]。

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

勾股定理的示意圖

勾股定理也稱為畢氏定理，內容如下：

在任意直角的三角形中，邊長等於斜邊的正方形，其面積等於邊長等於兩股的二個正方形的和

可以表示為以下的公式表示

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

其中${\displaystyle c}$為斜邊長，而${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$為剩下二股的長度。

直角三角形的內切圓

直角三角形的二股長度為${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，斜邊長度為${\displaystyle c}$，內切圓的半徑為

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

外接圓的半徑為斜邊的一半

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

直角三角形的任一股可以用內切圓半徑和另一股長度表示：

${\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$（勾股定理）
• ${\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}$[7]
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$[8]

• 角${\displaystyle A}$和角${\displaystyle B}$互為餘角。
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$[8][9]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$[8][9]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$[9]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T=PA\cdot PB,}$其中P為內切圓和最長邊AB相切的點[10]

• ${\displaystyle \displaystyle r=s-c}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=s}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}}$[11]

• ${\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$[12]
• 中線中有一條的長度等於外接圓半徑。
• 高線中最短的（通過由最大角頂點的高線）將對邊分為二個線段，高線恰為二線段的幾何平均數，即為直角三角形高定理。

• 三角形可以放在一個半圓中，且一邊恰和直徑完全重合。
• 外接圓圓心恰為最長邊的中點。
• 最長邊的邊長恰為外接圓的直徑。${\displaystyle \displaystyle (c=2R).}$。
• 外接圓和九點圓相切[8]。
• 垂心在外接圓的圓周上[12]
• 內切圓圓心（內心）和垂心的距離為${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$.[12]。