关孝和

關孝和在他的《三部抄》中阐述了“傍書法”和演段術。“傍書法”是用來表示方程的方法。關孝和把未知數用甲乙來表示，把係數和加減乘除運算標在未知數的旁邊。這樣可以簡潔地表示方程或方程組。以“傍書法”為基礎，關孝和介紹了一系列解方程和方程組的算法，並稱之為“天元演段術”，之後又歸納為“歸原整法”。後來的“關流”弟子稱這種方法為“點竄法”[3][5]。

在《三部抄》的最後一部《解伏题之法》中，關孝和研究了各類代數方程與方程組的解法。他使用將方程組中不同方程乘以不同的係數或算式後相減的方法來消去未知數，得到一元的（高次）方程，然後求數值解。其中主要有略、省、约、缩、叠、括六種方法。“略”是指將一个方程乘以一個算式後从另一方程中减去；“省”是指將一个方程的各项中的公因式约去；“约”是指將一个方程的各项中的公因數约去；“缩”則是指當两个方程中都只有未知數${\displaystyle x}$的偶數次幂时，用未知數的平方${\displaystyle x}$代替${\displaystyle x^{2}}$，得到次數較低的方程式的方法；“叠”是指將两个方程分别乘以一個算式再相减以消去某些项；“括”是把未知數的相同冪次的系数合起来，即合并同类项[3]。做這樣的消元法時，關孝和只將方程的係數縱橫寫成方陣的形式，實際上就是行列式。關孝和還提出了兩種計算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。

關孝和創立的求曲綫長度、曲邊圖形面積或立體體積的方法被後來的和算家稱為圓理。其研究主要記載在《括要算法》的第四卷中。其中包括“求圆周率术”、“求弧矢弦率术”和“求立圆积率术”。關孝和曾經求得圓周率的小數點後11位小數，但他無法確定其準確度。求弧長時關孝和建立了類似牛頓插值公式的方法，可以說是和牛頓差不多時間發現了這一公式。此外，他還通過“増約術”求得球體的體積公式。