內生性

以下是内生性问题的常见原因。

这种情况下，内生性来源于未受到控制的干扰变量，这一变量既和模型中的解释变量相关，又存在于扰动项中。换言之，这一遗漏变量不仅影响解释变量，同时还单独地作用于被解释变量。

假设需要估计的“真实”模型为：

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\gamma z_{i}+u_{i}}$

但是${\displaystyle z_{i}}$在回归模型中被遗漏了（例如缺乏统计这一变量的手段）。因此，实际估计的模型为：

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}}$

其中，${\displaystyle \varepsilon _{i}=\gamma z_{i}+u_{i}}$，也就是说，变量${\displaystyle z_{i}}$被包含在了扰动项当中。

如果${\displaystyle x}$和${\displaystyle z}$的相关系数不等于0，而且${\displaystyle z}$还独立作用与${\displaystyle y}$（意味着${\displaystyle \gamma \neq 0}$），那么${\displaystyle x}$就会与${\displaystyle \varepsilon }$相关。

这一例子中，${\displaystyle x}$对于${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$不是外生的，这是由于：对于给定的解释变量${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$的分布不仅取决于${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$，还受到${\displaystyle z}$以及${\displaystyle \gamma }$的影响。

假设某个解释变量无法得到精准的测量。即，真实的变量${\displaystyle x_{i}^{*}}$无法观察到，实际观测到的是${\displaystyle x_{i}=x_{i}^{*}+\nu _{i}}$，其中，${\displaystyle \nu _{i}}$是测量误差（“噪音”）。模型：

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{i}}$

需要改写为实际观测到的形式：

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=\alpha +\beta (x_{i}-\nu _{i})+\varepsilon _{i}\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+(\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+u_{i}\quad (u_{i}=\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\end{aligned}}}$

由于${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle u_{i}}$都受到${\displaystyle \nu _{i}}$影响，这两个变量是相关的。结果来看，${\displaystyle \beta }$最小二乘法估计量会被低估。

被解释变量${\displaystyle y_{i}}$的测量误差不会导致内生性，但是会引起扰动项的方差增大。

假设两个变量互相决定（存在“同时性”），两者的结构方程模型如下：

${\displaystyle y_{i}=\beta _{1}x_{i}+\gamma _{1}z_{i}+u_{i}}$

${\displaystyle z_{i}=\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}y_{i}+v_{i}}$

对两个等式的任意一个进行估计都会导致内生性。以前一个等式为例，${\displaystyle E(z_{i}u_{i})\neq 0}$。在${\displaystyle 1-\gamma _{1}\gamma _{2}\neq 0}$的假设下求解${\displaystyle z_{i}}$得到：

${\displaystyle z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}v_{i}+{\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}u_{i}}$

又假设${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle \gamma _{i}}$都与${\displaystyle u_{i}}$无关，

${\displaystyle \operatorname {E} (z_{i}u_{i})={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (u_{i}u_{i})\neq 0}$

因此，对两个等式的估计都会受到内生性影响。

内生性问题在時間序列因果分析中影响尤为广泛。在因果关系中，时期${\displaystyle t}$的变量很可能与${\displaystyle t-1}$的其他变量存在跨期关联。假设解释变量“虫害程度”在本期与其他变量都无关，但是与上一期的降雨量和肥料施用量有关。这种情况下，虫害程度在同期是外生的，但是在时间序列当中却存在内生性。