误差

假设有一系列取自单变量分布的观察结果，我们想要估计该分布的平均值。此时，误差是观测值与总体均值的偏差，而残差是观测值与样本均值的偏差。

统计误差（statistical error）是观察值与其期望值的差异程度，而期望值基于随机选择统计单位的总体。例如，如果21岁男性的平均身高为1.75米，而随机选出的一名男性身高为1.80米，则“误差”为0.05米；如果随机选出男性人身高1.70米，则“误差”为-0.05 米。期望值是整个总体的均值，通常是无法观测的，因此统计误差也无从知晓。

而残差（residual）是对无法观测的统计误差的可观测估计。在上述的男性身高的例子中，假设我们随机抽取n个人作为样本。样本均值可以很好地估计总体均值。此时：

• 样本中每个人的身高与无法观测的总体均值之间的差值是统计误差，
• 样本中每个人的身高与可观测的样本均值之间的差值是残差。

注意，由于样本均值的定义，随机样本内的残差之和必然为零，因此残差必然不是相互独立的。而统计误差是独立的，它们在随机样本中的总和几乎肯定不为零。

统计误差（尤其是正态分布的）的数值可以用標準分數（或“z分数”）来标准化，而残差可以用t统计量，或更一般的学生化残差来标准化。

假定有一个均值为μ、標準差为σ的正态分布总体，从中随机选择个体，得到样本：

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\sim N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\,}$

其样本均值为

${\displaystyle {\overline {X}}={X_{1}+\cdots +X_{n} \over n}}$

它是一个随机变量分布，服从：

${\displaystyle {\overline {X}}\sim N\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right).}$

其统计误差为：

${\displaystyle e_{i}=X_{i}-\mu ,\,}$

其期望值为0，[4]而残差为：

${\displaystyle r_{i}=X_{i}-{\overline {X}}.}$

统计误差的平方和除以σ²，得到自由度为n的卡方分布：

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}e_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}.}$

然而，因为总体均值未知，这个数量是不可观测的。但是，残差的平方和是可观测的。该总和除以σ²的商是n - 1自由度的卡方分布：

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}r_{i}^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}.}$

自由度为n和n - 1之间的区别是对总体（均值、方差未知）的方差估计值的贝塞尔校正。若总体均值已知，则无需进行校正。

• Cook, R. Dennis; Weisberg, Sanford. Repr. New York: Chapman and Hall. 1982 [23 February 2013]. ISBN 041224280X. （原始内容存档于2022-04-06）.
• Cox, David R.; Snell, E. Joyce. . Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1968, 30 (2): 248–275. JSTOR 2984505.
• Weisberg, Sanford. 2nd. New York: Wiley. 1985 [23 February 2013]. ISBN 9780471879572. （原始内容存档于2022-07-12）.
• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4

• 维基共享资源上的相關多媒體資源：误差