分佈式參數系統

假設U、X和Y是希尔伯特空间，而${\displaystyle A\,}$ ∈ L(X), ${\displaystyle B\,}$ ∈ L(U, X), ${\displaystyle C\,}$ ∈ L(X, Y) 和${\displaystyle D\,}$ ∈ L(U, Y)，以下方程可確定一個離散時間的線性非時變系統：

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

其中${\displaystyle x\,}$（狀態）是序列，其值在X內，${\displaystyle u\,}$（輸入或是控制）是序列，其值在U內，${\displaystyle y\,}$（輸出）為序列，其值在Y內。

連續時間的例子類似離散時間，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$,

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

接下來複雜的部份就是將實際的問題（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是強制使用无界算子。一般會假定A狀態空間X裡的C0半群。假定B、C和D是有界算子，允許包括多待分析的實際的例子[1]，不過有些實際的例子也會假定B和C是無界的。

離散時間的傳遞函數可以用狀態空間參數，表示為以下的形式${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$，函數在圓心為原點的圓盤內是全純的[4]。若1/z在A的resolvent set內（可能是另一個以圓心為原點，較小的圓盤），則傳遞函數為${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$。任何在零點為全純的函數都有對應的離散系統，使該函數為離散系統的傳遞函數。

若A可產生強連續半群，且B、C及D為有界算子[5]，則傳遞函數可以用狀態空間參數表示為${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$，其中s的實部比A產生半群的指數成長上界要大。在更廣泛的情形下，上述公式不一定有意義，不過上述公式適當推廣後的版本仍然會有效[6]。

若要得到傳遞函數的簡單表示式，較理想的方式是將微分方式進行拉氏轉換，而不是用狀態空間中的參數來表示。

令初始條件${\displaystyle w_{0}}$為0，將對t進行過拉氏轉換的函數用大寫表示，可以將偏微分方程轉換為以下的形式

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

這是非齊次線性微分方程，變數為${\displaystyle \xi }$，s為參數，且初始條件為零。其解為${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$。用此式來代入有Y 的方式中並且積分，可以得到${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$，因此傳遞函數為${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$。

類似上述偏微分程的例子，時滯微分方程的傳遞函數為[7] ${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$。

在離散時間系統中，將所有U值序列的集合映射到X的映射${\displaystyle \Phi _{n}}$相當的重要，其表示式為${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$。${\displaystyle \Phi _{n}u}$是初始條件為零時，給定輸入序列u下達到的狀態。The system is called

• 系統在時間n內為精確可控制（exactly controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值域為X。
• 系統在時間n內為近似可控制（approximately controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值域是X內的稠密集。
• 系統在時間n內為零可控制（null controllable）若${\displaystyle \Phi _{n}}$的值包括Aⁿ的值域。

在連續時間系統中，${\displaystyle \Phi _{t}}$（表示為${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$）有和離散時間系統的${\displaystyle \Phi _{n}}$一樣重要的角色。不過，控制函數所在的空間也會影響定義。一般的選擇是L²(0, ∞;U)，是在(0, ∞)區間內U值平方可積函數的（等效）空間，不過也有其他的定義，例如L¹(0, ∞;U)。當${\displaystyle \Phi _{t}}$的定義域選定之後，有以下幾種不同的可控制性[8]。

• 系統在時間t內為精確可控制（exactly controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值域為X。
• 系統在時間t內為近似可控制（approximately controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值域為X內的稠密集。
• 系統在時間t內為零可控制（null controllable）若${\displaystyle \Phi _{t}}$的值包括${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$的值域。

就如同有限維度下的情形一樣，無限維度的可觀察性也是可控制性的對偶概念。無限維度有很多種的可觀察性定義，最重要的三個如下：

• 精確可觀察性（exactly observable），也稱為連續可觀察性（continuous observability）
• 近似可觀察性（approximately observable）
• 最終狀態可觀察性（final state observable）

在離散時間系統的可觀察性中，${\displaystyle \Psi _{n}}$（將X映射到所有Y值序列空間的映射，若k ≤ n，表示為${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$，在k > n時，數值為0)。意思是${\displaystyle \Psi _{n}x}$是初始條件x，控制輸入為0時的truncated output。有以下幾種可觀察性

• 在時間n有精確可觀察性（exactly observable），若存在 k_n > 0 ，使得　${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$，在所有 x ∈ X 時都成立
• 在時間n有近似可觀察性（approximately observable），若${\displaystyle \Psi _{n}}$為单射
• 在時間n有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 k_n > 0 使得${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$，在所有 x ∈ X 時都成立

在連續時間系統的可觀察性中，${\displaystyle \Psi _{t}}$（表示為${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$，其中s∈[0,t]，若s>t時為零）的角色和${\displaystyle \Psi _{n}}$在離散時間系統中的相當。不過運算子作用的函數空間也會影響其定義。常見的選擇是L²(0, ∞, Y)，是（等效於）在定義域(0,∞)內的Y-值平方可積函數，不過也可以選擇其他的函數空間，例如L¹(0, ∞, Y)。只要選擇了${\displaystyle \Psi _{t}}$的輔域，就可以定義不同的可觀察性，有以下幾種可觀察性[9]：

• 在時間t有精確可觀察性（exactly observable），若存在k_t > 0，使得${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$，在所有 x ∈ X 時都成立
• 在時間t有近似可觀察性（approximately observable），若${\displaystyle \Psi _{t}}$為单射
• 在時間t有最終狀態可觀察性（final state observable），若存在 k_t > 0 使得${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$ ，在所有x ∈ X 時都成立