分离公理

在定义分离公理之前，讓我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（須注意的是，可分离的集合不一定等同于下一節所定义的「分离空间」。）

分離公理是利用拓撲的方法來分辨不相交的集合及相區別的點。不只要拓撲空間內的元素是相區別的，更要這些元素是「拓撲可區別的」；不只要拓撲空間內的子集是不相交的，更要這些子集是（以某种方式）「可分離的」。分離公理聲稱，無論如何，若點或集合在某些較弱意思下是可區別的或可分離的，也必須在某些較強的意思下是可區別或可分離的。

设${\displaystyle X}$為一拓扑空间，${\displaystyle A,B\subseteq X}$，${\displaystyle \mathbb {R} }$是实数集，定义：

拓扑可区分

${\displaystyle A,B}$称为拓扑可区分的，当且仅当${\displaystyle A,B}$的邻域系${\displaystyle U(A)}$和${\displaystyle U(B)}$不相等（即，存在某个${\displaystyle A}$的邻域，不是${\displaystyle B}$的邻域，或反之）。

可分离

${\displaystyle A,B}$稱為可分離的，当且仅当${\displaystyle A\cap {\bar {B}}}$和${\displaystyle {\bar {A}}\cap B}$都为空。（${\displaystyle {\bar {A}}}$是${\displaystyle A}$的闭包）。注意：${\displaystyle {\bar {A}}\cap {\bar {B}}}$可以不为空。

邻域可分离

${\displaystyle A,B}$称为邻域可分离的，当且仅当存在${\displaystyle A}$的邻域${\displaystyle U}$和${\displaystyle B}$的邻域${\displaystyle V}$，使得${\displaystyle U\cap V}$为空。

闭邻域可分离

${\displaystyle A,B}$称为闭邻域可分离的，当且仅当存在${\displaystyle A}$的闭邻域${\displaystyle U}$和${\displaystyle B}$的闭邻域${\displaystyle V}$，使得${\displaystyle U\cap V}$为空。

函数可分离

${\displaystyle A,B}$称为函数可分离的，当且仅当存在连续函数${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$，使得${\displaystyle f(A)=\{0\}}$，${\displaystyle f(B)=\{1\}}$。

函数完全分离

${\displaystyle A,B}$称为函数完全分离的，当且仅当存在连续函数${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$，使得${\displaystyle f^{-1}(\{0\})=A}$，${\displaystyle f^{-1}(\{1\})=B}$。

对于${\displaystyle X}$中的点${\displaystyle x,y}$（或点${\displaystyle x}$和子集${\displaystyle A}$），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当单元素集合${\displaystyle \{x\}}$和${\displaystyle \{y\}}$（或${\displaystyle \{x\}}$和子集${\displaystyle A}$）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。

以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相區分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更進一步地說，任何两个可分离的集合也必然是不相交的，任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的，以此类推。

上述条件更詳細的敘述(包括分离公理外的用途)，请参见分离集合和拓扑不可区分性等條目。

下面的定義都會直接使用到上面的初步定義。

大部份的分離公理都會有另一個等價的定義。下面所給出的定義會維持一致的模式，以和上一節所定義的許多分離的概念相連結。其他等價的定義則分別寫在個別的條目之中。

在下面所有的定義之中，X是一個拓撲空間，所有的函數都假設為連續的。

• X稱為T₀空间或「柯尔莫果洛夫空间」，若在X內，任意兩個相區別的點皆為拓撲可區分的。

• X稱為R₀空间或「对称空间」，若在X內，任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。

• X稱為T₁空间、「可及空間」或「弗雷歇空間」，若在X內，任意兩個相區別的點都是可分離的。X為T₁空間，若且唯若X同時為T₀及R₀空間。

• X稱為R₁空间或「预正则空间」，若在X內，任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R₁空间必然也是R₀空间。

• X稱為T₂空间或「豪斯多夫空间」，若在X內，任意兩個相區別的點都是鄰域上可分離的。X為豪斯多夫空間，若且唯若X同時為T₀及R₁空間。豪斯多夫空間必然也是T₁空間。

• X稱為T_2½空間或「烏雷松空間」，若在X內，任意兩個相區別的點都是閉鄰域上可分離的。T_2½空間必然也是豪斯多夫空間。

• X稱為完全豪斯多夫空間或「完全T₂空間」，若在X內，任意兩個相區別的點都是函數上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T_2½空間。

• X稱為正則空間，若在X內，給定一點x及一閉集F，則若x不屬於F，x和F即為鄰域上可分離的（實際上，在一個正則空間裡，x和F也同樣會是閉鄰域上可分離的）。正則空間必然也是R₁空間。

• X稱為正則豪斯多夫空間或「T₃空間」，若X同時為T₀及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T_2½空間。

• X稱為完全正則空間，若在X內，給定一點x及一閉集F，則若x不屬於F，x和F即為函數上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。

• X稱為吉洪諾夫空間、「T_3½空間」、「完全T₃空間」或「完全正則豪斯多夫空間」，若X同時為T₀及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。

• X稱為正規空間，若在X內，任意兩個相區別的閉子集都是鄰域上可分離的（實際上，在正規空間裡，任意兩個相區別的閉子集也同樣會是函數上可分離的；這稱為烏雷松引理）。

• X稱為正規豪斯多夫空間或「T₄空間」，若X同時為T₁及正規空間。正規豪斯多夫空間必然同時也是吉洪諾夫空間及正規正則空間。

• X稱為完全正規空間，若在X內，任意兩個相區別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規空間必然也是正規空間。

• X稱為完全正規豪斯多夫空間、「T₅空間」或「完全T₄空間」，若X同時為完全正規及T₁空間。完全正規豪斯多夫空間必然也是正規豪斯多夫空間。

• X稱為完美正規空間，若在X內，任意兩個相區別的閉子集都是函數上完全分離的。完美正規空間必然也是完全正規空間。

• X稱為完美正規豪斯多夫空間、「T₆空間」或「完美T₄空間」，若X同時為完美正規及T₁空間。完美正規豪斯多夫空間必然也是完全正規豪斯多夫空間。

T₀空間很特別，因為它不只可以當做一個性質加在其他空間上（如完全正則空間加上T₀即為吉洪諾夫空間），也可以由某個空間中刪去此一性質（如豪斯多夫空間刪去T₀即為R₁空間）；更多資訊請見柯爾莫果洛夫商空間。當其應用在分離公理時，便會導致如下表所列的關係：

在表中，利用柯爾莫果洛夫商空間運算，右邊的空間加上T₀即為左邊的空間，左邊的空間刪去T₀即為右邊的空間。

除了T₀的加上及刪去之外，各空間之間的關係則可由下圖指明出來：

Hasse diagram of the separation axioms.

在圖中，無T₀版本的空間在斜線的左邊，T₀版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思： P為完美（perfectly）、C為完全（completely）、N為正規（normal）、R為正則（regular）。 黑點代表該空間沒有給定名稱。

結合兩個空間的性質最後會產生的空間可由上圖得知，只要看兩點向上的分支會交會在哪一點即可。例如，若有一個空間同時為完全正規（CN）及完全豪斯多夫（CT₂）空間，則查看兩點向上的分支，會發覺為「•/T₅」。因為完全豪斯多夫空間為斜邊的T₀端（即使完全正規空間不是），最後得到的空間便會在斜邊的T₀端。亦即，完全正規完全豪斯多夫空間即為T₅空間。

再看一次上圖，正規空間及R₀空間結合在一起，由於會經過許多右側的分支，也意指會產生許多兩個空間所沒有的其他性質。因為正則性是之中最為人知的性質，結合正規空間及R₀空間而成的空間一般稱為「正規正則空間」。基於類似的想法，正規T₁空間通常稱為「正規豪斯多夫空間」。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。

• Michael C. Gemignani; Elementary Topology; ISBN 0486665224
• Schechter, Eric; 1997; Handbook of Analysis and its Foundations; Publisher: Academic Press; https://web.archive.org/web/20150307061351/http://www.math.vanderbilt.edu/%7Eschectex/ccc/
  • 包含 R_i 公理（及其他）
• Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
  • 包含本條目除 R_i 以外之公理和定義
• There are several other good books on general topology, but beware that some use slightly different definitions.