切比雪夫不等式

這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

• 與平均相差2個標準差以上的值，數目不多於1/4
• 與平均相差3個標準差以上的值，數目不多於1/9
• 與平均相差4個標準差以上的值，數目不多於1/16

……

• 與平均相差k個標準差以上的值，數目不多於1/k²

舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少於50分或多於110分（與平均相差3個標準差以上）的人，數目不多於4個（=36*1/9）。
公式：${\displaystyle P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$

定義${\displaystyle ~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}}$，設${\displaystyle 1_{A_{t}}}$為集${\displaystyle ~A_{t}}$的指示函数，有

${\displaystyle 0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,}$

${\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變量Y和正數a有${\displaystyle \Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a}$。取${\displaystyle Y=(X-\mu )^{2}}$及${\displaystyle a=(k\sigma )^{2}}$。

亦可從概率論的原理和定義開始證明：

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})}$

${\displaystyle \leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.}$

• 馬爾可夫不等式
• 弱大數定律
• 大數定律

• 《基本統計學 觀念與應用二版》，林惠玲 陳正倉 著
• 《應用統計學 第四版》 修訂版，林惠玲 陳正倉 著