擴展實數線

对任意实数${\displaystyle a}$，定义${\displaystyle -\infty <a<+\infty }$，扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合${\displaystyle U}$是${\displaystyle +\infty }$的邻域，当且仅当它包含集合${\displaystyle \left\{x:x>a\right\}}$，这里${\displaystyle a}$是某个实数。${\displaystyle -\infty }$的邻域类似。${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间${\displaystyle \left[0,1\right]}$同胚。

${\displaystyle \mathbb {R} }$上的算术运算可以部分地扩展到${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$，如下：

${\displaystyle {\begin{array}{l}a+\infty =+\infty +a=+\infty &a\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a=-\infty &a\neq +\infty \\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right]\\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\mp \infty &a\in \left[-\infty ,0\right)\\{\dfrac {a}{\pm \infty }}=0&a\in \mathbb {R} \\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right)\\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty &a\in \left(-\infty ,0\right)\end{array}}}$

通常不定义${\displaystyle \infty -\infty ,0\cdot \left(\pm \infty \right),{\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}$,${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$。同时${\displaystyle {\frac {1}{0}}}$也不定义为${\displaystyle +\infty }$（因為這樣忽視了${\displaystyle -\infty }$），这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意在这些定义下，${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$不是域，也不是环。

经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：

• ${\displaystyle a+\left(b+c\right)}$和${\displaystyle \left(a+b\right)+c}$相等或同时没有定义。
• ${\displaystyle a+b}$和${\displaystyle b+a}$相等或同时没有定义。
• ${\displaystyle a\cdot \left(b\cdot c\right)}$和${\displaystyle \left(a\cdot b\right)\cdot c}$相等或同时没有定义。
• ${\displaystyle a\cdot b}$和${\displaystyle b\cdot a}$相等或同时没有定义。
• ${\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)}$和${\displaystyle \left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)}$若都有定义则相等。
• 若${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle a+c}$和${\displaystyle b+c}$都有定义，则${\displaystyle a+c\leq b+c}$。
• 若${\displaystyle a\leq b}$且${\displaystyle c>0}$且${\displaystyle a\cdot c}$和${\displaystyle b\cdot c}$都有定义，则${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c}$。

通常只要表达式都有定义，所有算术性质在${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$上都成立。

使用极限，一些函数可以自然地扩展到${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$。例如可以定义${\displaystyle {\rm {{e}^{-\infty }=0,{\rm {{e}^{+\infty }=+\infty ,\ln {0}=-\infty ,\ln {\left(+\infty \right)}=+\infty }}}}}$等。

• 扩展的复平面