初等矩阵

此变换 T_{i j} 将单位矩阵的第 i 的所有元素与第 j 互换。

${\displaystyle T_{ij}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&&\\&&1&&0&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }$

• 逆矩阵即自身：${\displaystyle T_{ij}^{-1}=T_{ij}}$。
• 因为单位矩阵的行列式为1，故 ${\displaystyle \det T_{ij}=-1}$。對所有階數相同的方阵 A 亦有以下性质：${\displaystyle \det T_{ij}A=-\det A}$。

此变换 T_i(m) 将第 i 的所有元素乘以一個非零常数 m。

${\displaystyle T_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }$

• 逆矩阵为 ${\displaystyle T_{i}(m)^{-1}=T_{i}({\frac {1}{m}})}$。
• 此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
• 其行列式 ${\displaystyle \det T_{i}(m)=m}$，故對所有階數相同的方阵 A 都有 ${\displaystyle \det(T_{i}(m)A)=m\det A}$。

此变换 T_{i j}(m) 将第 i 加上第 j 的 m 倍，其中 m 为第 i 第 j 的元素。

${\displaystyle T_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&m&&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

• 逆矩阵具有性质 ${\displaystyle T_{ij}(m)^{-1}=T_{ij}(-m)}$。
• 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
• 其行列式 ${\displaystyle \det T_{ij}(m)=1}$，故對所有階數相同的方阵 A 有 ${\displaystyle \det(T_{ij}(m)A)=\det A}$。

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等变换没有改变像却改变了核。

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同列行数的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵[3]。