零空间

1. 考虑函数${\displaystyle f}$ ：

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (x,y)\longmapsto x-y}$，

它是一个线性映射，因为 ${\displaystyle f(x+\lambda z,y+\lambda w)=(x+\lambda z)-(y+\lambda w)=f(x,y)+\lambda f(z,w)}$。它的零空间由所有第一个和第二个坐标一致的向量组成，就是说描述了一条直线 ${\displaystyle \left\{(x,x):x\in \mathbb {R} \right\}}$ 。

2. 在一个线性空间中固定一个向量 ${\displaystyle y}$ 并定义线性映射 ${\displaystyle f}$ 为向量 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的点积。它的零空间由所有正交于 ${\displaystyle y}$ 的向量，即 ${\displaystyle y}$ 的正交补组成。

如果 A 是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做 A 的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵 A 的阶梯形矩阵中不包含支点的纵数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵数。

对应于零奇异值的 A 的右奇异向量形成了 A 的零空间的基。

A 的零空间可以用来找到和表达方程 Ax = b 的所有解(完全解)。如果 x₁ 是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依 b 而变化，而零空间的向量不是。

要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果 Ay = b，且 Av = 0，则明显的 A(y+v) = Ay+Av = b+0 = b。所以 y+v 也是 Ax=b 的解。在其他方向上，如果我们有对 Ax=b 的另一个解 z，则 A(z−y) = Az−Ay = b−b = 0。所以向量 u = z−y 在 A 的零空间中而 z = y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解 y 。

如果一个线性映射 A 是单同态，则它的零空间是零。因为如果反过来它的零空间是非零，由类似上面的方法可以得出Ay = b的解不止一个，也就是说线性映射 A 不是单射了。

如果映射是零映射，则零空间同于映射的定义域。

考虑矩阵

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&-4&4\\2&-8&0\\8&4&-12\end{bmatrix}}\!\ }$

要找到它的零空间，须找到所有向量 ${\displaystyle v}$ 使得 ${\displaystyle Av=0}$。首先把 ${\displaystyle A}$ 变换成簡化阶梯形矩阵：

${\displaystyle E={\begin{bmatrix}1&0&-4/3\\0&1&-1/3\\0&0&0\end{bmatrix}}\!\ }$

有 ${\displaystyle Av=0}$ 当且仅当 ${\displaystyle Ev=0}$。使用符号 ${\displaystyle v=[x,y,z]^{T}}$，后者方程变为

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&-4/3\\0&1&-1/3\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x-4z/3\\y-z/3\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x=4z/3\\y=z/3\\0=0\end{bmatrix}};{\begin{bmatrix}x=4s/3\\y=s/3\\z=s\end{bmatrix}}}$

所以，${\displaystyle A}$ 的零空间是一维空间，

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}4s/3\\s/3\\s\end{bmatrix}}}$

• MIT Video Lecture on Column Space and Nullspace （页面存档备份，存于）at MIT OpenCourseWare
• http://www.bilibili.com/video/av6240005/ （页面存档备份，存于）