力偶

最簡單的力偶是由兩個大小相同、方向相反、作用線相異的作用力組成，又稱為“簡單力偶”[1]。與作用力同線的直線稱為這作用力的“作用線”。作用於物體，力偶會給與物體一種旋轉效應或力偶矩。採用国际单位制，力偶的單位是牛頓${\displaystyle \cdot }$公尺。

假設施加於一物體的兩個作用線相異的作用力分別為 ${\displaystyle \mathbf {F} \,}$ 、${\displaystyle -\mathbf {F} \,}$ ，則其力偶矩 ${\displaystyle \tau \,}$ 的大小，以方程式表達為

${\displaystyle \tau =Fd\,}$ ；

其中，${\displaystyle d\,}$ 是兩個作用力之間的垂直距離。

力偶矩 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,}$ 的方向垂直於包含這力偶的平面。

假設，兩個大小相等，方向相反的作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$ 與 ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$ ， 分別施加於一個物體的位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$ 與 ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$ ，則合力等於零：

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,}$ ，

而所產生的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ 以方程式表達為

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{12}\times \mathbf {F} _{1}\,}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\,}$ 是兩個位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$ 與 ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$ 之間的相對位置。

特別注意，由於 ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,}$ 是相對位置，不隨參考點的改變而改變，從物體上任何參考點觀測的力偶矩 ${\displaystyle \mathbf {M} \,}$ 都相等。因此，力偶矩是個自由向量，作用於物體的任何一點，效果都一樣。

在計算作用力的力矩時，必須先選擇某參考點P，然後才能計算作用力對於參考點P的力矩。通常，若參考點P的位置改變，力矩也會改變。但是，力偶的力偶矩獨立於參考點P，對於任意參考點，力偶矩都相同。換句話說，力偶矩是一個自由向量。這理論稱為伐里農第二力矩定理（）[3]。

證明：

假設分別施加於位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}\,}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\,}$ 的作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$ 、${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$ ，共同形成一個力偶，則這兩個作用力的合力為

${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\,}$ ，

這兩個作用力對於原點O的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} _{O}\,}$ 為

${\displaystyle \mathbf {M} _{O}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,}$ 。

設定參考點P的位置為 ${\displaystyle \mathbf {r} \,}$ 。作用力 ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\,}$ 、${\displaystyle \mathbf {F} _{2}\,}$ 對於點P的力矩 ${\displaystyle \mathbf {M} _{P}\,}$ 為

${\displaystyle \mathbf {M} _{P}=(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}-\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2})=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}\,}$ 。

所以，力偶矩與參考點無關：

${\displaystyle \mathbf {M} _{P}=\mathbf {M} _{O}\,}$ 。

在機械工程學裏，力偶是個很有用的概念。以下列出幾個實例：

• 當用手扭轉螺絲起子時，螺絲起子會感受到力偶。
• 當用螺絲起子扭轉螺絲釘時，螺絲釘會感受到力偶。
• 一個在水裏旋轉的螺旋槳推進器，會感受到由水阻力產生的力偶。
• 在一個均勻電場裏，電偶極子會感受到電場的力偶。
• 航天器上的反应控制系统。
• 手在方向盘上施加的力。