匈牙利算法

你有三个工人：吉姆，史提夫和艾伦。 你需要其中一个清洁浴室，另一个打扫地板，第三个洗窗，但他们每个人对各项任务要求不同数目数量的钱。 以最低成本的分配工作的方式是什么？ 可以用工人做工的成本矩阵来表示该问题。例如：

当把匈牙利方法应用于上面的表格时，会给出最低成本：为6美元，让吉姆清洁浴室、史提夫打扫地板、艾伦清洗窗户就可以达到这一结果。

给定一个 ${\displaystyle n\times n}$ 的非负矩阵，其中第 ${\displaystyle i}$ 行第 ${\displaystyle j}$ 列元素表示把第 ${\displaystyle i}$ 个工人派到第 ${\displaystyle j}$个工作的成本。我们必须找到成本最低的工人工作分配。如果目标是找到最高成本的分配，该问题可以将每个成本都换为最高一个成本减去该成本以适应题目。

如果用二分图来阐述该问题可以更容易描述这个算法。对于一个有 ${\displaystyle n}$个工人节点（${\displaystyle S}$）与 ${\displaystyle n}$个工作节点（${\displaystyle T}$）的完全二分图 ${\displaystyle G=(S\cup T,E)}$，每条边都有 ${\displaystyle c(i,j)}$ 的非负成本。我们要找到最低成本的完美匹配。

如果函数 ${\displaystyle y:(S\cup T)\mapsto \mathbb {R} }$ 满足对于每个 ${\displaystyle i\in S,j\in T}$ 都有 ${\displaystyle y(i)+y(j)\leq c(i,j)}$，则把该函数叫做势。势 ${\displaystyle y}$ 的值为 ${\displaystyle \sum _{v\in S\cup T}y(v)}$。可以看出，每个完美匹配的成本最低是每个势的值。匈牙利算法找出了完美匹配及与之成本/值相等的势，这证明了两者的最优性。实际上它找到了紧边集的完美匹配：紧边 ${\displaystyle ij}$ 是指对于势 ${\displaystyle y}$ 满足 ${\displaystyle y(i)+y(j)=c(i,j)}$。我们将紧边子图表示为 ${\displaystyle G_{y}}$。${\displaystyle G_{y}}$ 中的完美匹配的成本（如果存在）就等于 ${\displaystyle y}$的值。

在算法中我们維持 ${\displaystyle G_{y}}$ 的势${\displaystyle y}$和方向（表示为 ${\displaystyle {\overrightarrow {G_{y}}}}$ ），该方向有从 ${\displaystyle T}$到 ${\displaystyle S}$ 的边构成匹配 ${\displaystyle M}$ 的性质。初始时，${\displaystyle y}$ 处处为 0， 所有边都由 ${\displaystyle S}$ 指向 ${\displaystyle T}$（因此 ${\displaystyle M}$ 为空）。每一步中，我们或者改变 ${\displaystyle y}$ 使其值增加， 或者改变方向以得到更多的边。我们保持 ${\displaystyle M}$ 的所有边都是紧边不发生改变。当 ${\displaystyle M}$ 为完美匹配时结束。

在一般的步骤中，令 ${\displaystyle R_{S}\subseteq S}$ 和 ${\displaystyle R_{T}\subseteq T}$ 为 ${\displaystyle M}$ 未覆盖的节点 （则 ${\displaystyle R_{S}}$ 包含 ${\displaystyle S}$ 中入度为零的节点，而 ${\displaystyle R_{T}}$ 中包含 ${\displaystyle T}$ 中出度为零的节点）。 令 ${\displaystyle Z}$ 为从 ${\displaystyle R_{S}}$ 只沿紧边的有向路径可到达 ${\displaystyle {\overrightarrow {G_{y}}}}$ 的节点。可由广度优先搜索求得。

若 ${\displaystyle R_{T}\cap Z}$ 非空，则将 ${\displaystyle {\overrightarrow {G_{y}}}}$ 中从 ${\displaystyle R_{S}}$ 到 ${\displaystyle R_{T}}$ 的有向路径反向。则相应匹配数增加1。

若 ${\displaystyle R_{T}\cap Z}$ 为空，则令 ${\displaystyle \Delta$ :=\min\{c(i,j)-y(i)-y(j):i\in Z\cap S,j\in T\setminus Z\}} 。${\displaystyle \Delta }$ 为正，因为 ${\displaystyle Z\cap S}$ 与 ${\displaystyle T\setminus Z}$ 之间没有紧边。 在 ${\displaystyle Z\cap T}$ 中的节点将${\displaystyle y}$增加${\displaystyle \Delta }$ 并在 ${\displaystyle Z\cap S}$ 中节点将 ${\displaystyle y}$减小 ${\displaystyle \Delta }$， 得到的${\displaystyle y}$仍然是势。图 ${\displaystyle G_{y}}$ 改变了，但它仍包含${\displaystyle M}$。我们把新的边从${\displaystyle S}$指向${\displaystyle T}$。 由 ${\displaystyle \Delta }$ 的定义，${\displaystyle R_{S}}$ 可达的节点集 ${\displaystyle Z}$ 增大（注意到紧边的数量不一定增加）。

我们重复这些步骤直到${\displaystyle M}$为完美匹配，该情形下给出的是最小成本（即时间消耗）的匹配。此版本的运行时间为 ${\displaystyle O(n^{4})}$：${\displaystyle M}$ 增广 ${\displaystyle n}$次， 在 ${\displaystyle M}$ 不改变的一个阶段中，势最多改变 ${\displaystyle n}$ 次（因为 ${\displaystyle Z}$ 每次都增加）。改变势所需的时间在 ${\displaystyle O(n^{2})}$。

给定 ${\displaystyle n}$ 个工人和任务，以及一个包含分配给每个工人一个任务的成本的 ${\displaystyle n\times n}$矩阵，寻找成本最小化分配。

首先把问题写成下面的矩阵形式

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{4}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}&c_{4}\\d_{1}&d_{2}&d_{3}&d_{4}\end{bmatrix}}}$

其中 ${\displaystyle a,b,c,d}$是执行任务 1, 2, 3, 4 的工人。${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}}$ 分别表示当工人 ${\displaystyle a}$ 做任务 1, 2, 3, 4 时的时间损失（成本）。对于其他符号也同样适用。该矩阵是方阵，所以每个工人只能执行一个任务。

第 1 步

接下来我们对矩阵的行进行操作。将所有 ${\displaystyle a_{i}}$ （${\displaystyle i}$ 从 1 到 4）中最小的元素取走，并将该行每个元素都减去刚刚取走的元素。这会让该行至少出现一个零（当一行有两个相等的最小元素时会得到多个零）。对此过程为所有行重复。我们现在得到一个每行至少有一个零的矩阵。现在我们尝试给工人指派任务，以使每个工人只做一项任务，并且每个情况的耗散都为零。说明如下。

${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a_{2}'}$	${\displaystyle a_{3}'}$	${\displaystyle a_{4}'}$
${\displaystyle b_{1}'}$	${\displaystyle b_{2}'}$	${\displaystyle b_{3}'}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle c_{1}'}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle c_{3}'}$	${\displaystyle c_{4}'}$
${\displaystyle d_{1}'}$	${\displaystyle d_{2}'}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle d_{4}'}$

每一行的 0 的个数可以超过 1。

若有出现行中 0 的个数超过 1，在最坏的情况下，会需要在 ${\displaystyle n!}$ 的组合中找到一个成本最小的配对。

第 2 步

有时此阶段的该矩阵不能符合指派的要求，例如下面所示矩阵。

${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a_{2}'}$	${\displaystyle a_{3}'}$	${\displaystyle a_{4}'}$
${\displaystyle b_{1}'}$	${\displaystyle b_{2}'}$	${\displaystyle b_{3}'}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle c_{2}'}$	${\displaystyle c_{3}'}$	${\displaystyle c_{4}'}$
${\displaystyle d_{1}'}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle d_{3}'}$	${\displaystyle d_{4}'}$

在上述情形下，不能做出指派。注意到任务 1 由工人 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle c}$ 做都很高效 (${\displaystyle a_{1}'}$ 和 ${\displaystyle c_{1}'}$ 为 0 )。但两个工人无法分配到同一个任务。

还注意到，没有任何一个工人能有效地做任务 3 (${\displaystyle a_{3}'}$、${\displaystyle b_{3}'}$、${\displaystyle c_{3}'}$、${\displaystyle d_{3}'}$ 皆不为 0)。 为了克服这个问题，我们对所有列重复上述流程（即每一列所有元素都减去该列最小元素）并检查是否可以完成分配。

大多数情况下，这都会给出结果，但如果仍然是不可行，那么我们需要继续下去。

第 3 步

必须用尽可能少的列或行标记来覆盖矩阵中的所有零。下面的过程是完成这个要求的一种方法：

首先，尽可能多地分配任务，用 0' 表示的零为已指派的任务，

• 第 1 行有一个零，所以用 0' 表示为分配。第 3 行的 0 由于处于同一列而被划掉。
• 第 2 行有一个零，所以用 0' 表示为分配。
• 第 3 行只有一个已经划掉的零，所以不能分配。
• 第 4 行有两个未划掉的零。可以分配任何一个（都是最优） ，并将另一个零划去。

(在此阶断任何合法的分配都可以接受，因此若一开始分配的是第 3 行的 0，就会使第 1 行的 0 被划掉。)

${\displaystyle 0'}$	${\displaystyle a_{2}'}$	${\displaystyle a_{3}'}$	${\displaystyle a_{4}'}$
${\displaystyle b_{1}'}$	${\displaystyle b_{2}'}$	${\displaystyle b_{3}'}$	${\displaystyle 0'}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle c_{2}'}$	${\displaystyle c_{3}'}$	${\displaystyle c_{4}'}$
${\displaystyle d_{1}'}$	${\displaystyle 0'}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle d_{4}'}$

现在到了画图的部分。

• 标记所有未分配的行（第 3 行）。
• 标记所有新标记的行中 0所在（且未标记）的對應列（第 1 列）。
• 标记所有在新标记的列中有分配的行（第 1 行）。
• 对所有未分配的行重复上述过程。

×
${\displaystyle 0'}$	${\displaystyle a_{2}'}$	${\displaystyle a_{3}'}$	${\displaystyle a_{4}'}$	×
${\displaystyle b_{1}'}$	${\displaystyle b_{2}'}$	${\displaystyle b_{3}'}$	${\displaystyle 0'}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle c_{2}'}$	${\displaystyle c_{3}'}$	${\displaystyle c_{4}'}$	×
${\displaystyle d_{1}'}$	${\displaystyle 0'}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle d_{4}'}$

现在劃掉所有已标记的列和未标记的行（第 1 列和第 2, 4 行）。

×
${\displaystyle 0'}$	${\displaystyle a_{2}'}$	${\displaystyle a_{3}'}$	${\displaystyle a_{4}'}$	×
${\displaystyle b_{1}'}$	${\displaystyle b_{2}'}$	${\displaystyle b_{3}'}$	${\displaystyle 0'}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle c_{2}'}$	${\displaystyle c_{3}'}$	${\displaystyle c_{4}'}$	×
${\displaystyle d_{1}'}$	${\displaystyle 0'}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle d_{4}'}$

上述详细的描述只是画出覆盖所有 0 的（直、行）线的一种方法。也可以使用其他方法。

第 4 步

现在删除已畫線的行和列。这将留下一个矩阵如下：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{2}&a_{3}&a_{4}\\c_{2}&c_{3}&c_{4}\end{bmatrix}}}$

返回到步骤 1，然后重复这个过程，直到矩阵是空的；当矩阵为空时，意即画出的覆盖所有 0 的（直、行）线的个数等于原本矩阵的行数(或列数) ${\displaystyle n}$，在上述的例子中 ${\displaystyle n=4}$，此时代表有一个分配的最佳解存在于这些 0 的组合之中，我们可以在步骤 1 中从所有分配的组合中找到成本最小的解。

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• M. Fischetti, "Lezioni di Ricerca Operativa", Edizioni Libreria Progetto Padova, Italia, 1995.
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• Lecture: Fundamentals of Operations Research - Assignment Problem - Hungarian Algorithm （页面存档备份，存于）, Prof. G. Srinivasan, Department of Management Studies, IIT Madras.
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• Solve any Assignment Problem online （页面存档备份，存于）, provides a step by step explanation of the Hungarian Algorithm.