十进制

无位值十进制

• 古埃及十进制：以一个竖道代表1，二并排竖道代表2，三竖道代表3，一横道代表4，左二撇右竖道代表5，上三撇下三撇代表6，上下两道代表8，四个「（」并排代表9，一个“人”字形代表10，“人”上加一横代表20，20左加一点代表30，横道上加一点代表40，横道上加三竖道（如中国筹算的8）代表60，横道上加四竖道代表80（形同中国筹算中的9）代表80，两横道上加三竖代表90……。
• 古希腊十进制，1至9，10至90，100至900各有不同的单字母代表。
• 古印度Kharosshi十进制，以一个竖道代表1，二并排竖道代表2，三竖道代表3，一个X代表4，IX代表5，||X代表6，XX代表8，10，20个有单字符代表。
• 古印度和Brahmi十进制，和希腊十进制相似，1至9，10至90，100至900各有不同的单字母代表。符号很多。

十进位制（有位值十进制）

• 中国古代的十进制有书写式和算筹两种型式。
• 印度-阿拉伯十进位制。

十进位制可以表示任何整數。利用小數點，還可以表示一些小數。

十進制漢字列表 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}(10^{n},\;n\geq 0)\end{smallmatrix}}}$

n	10n	前綴	n	10n	前綴	n	10n	前綴	n	10n	n	10n	n	10n	n	10n	n	10n
0	個	-	12	兆／萬億	太[2]	24	秭	堯	36	澗	48	極	60	那由他	72	大數	84
1	十	-	13	十兆	-	25	十秭	-	37	十澗	49	十極	61	十那由他	73	十大數	85
2	百	-	14	百兆	-	26	百秭	-	38	百澗	50	百極	62	百那由他	74	百大數	86
3	千	千	15	千兆	拍	27	千秭	容	39	千澗	51	千極	63	千那由他	75	千大數	87
4	萬	-	16	京	-	28	穰	-	40	正	52	恒河沙	64	不可思議	76		88
5	十萬	-	17	十京	-	29	十穰	-	41	十正	53	十恒河沙	65	十不可思議	77		……
6	百萬	兆[2]	18	百京	艾	30	百穰	昆	42	百正	54	百恒河沙	66	百不可思議	78		100	古戈爾
7	千萬	-	19	千京	-	31	千穰	-	43	千正	55	千恒河沙	67	千不可思議	79
8	億	-	20	垓	-	32	溝	-	44	載	56	阿僧祇	68	無量	80		……
9	十億	吉	21	十垓	澤	33	十溝	-	45	十載	57	十阿僧祇	69	十無量	81		10100	古戈爾普勒克斯
10	百億	-	22	百垓	-	34	百溝	-	46	百載	58	百阿僧祇	70	百無量	82
11	千億	-	23	千垓	-	35	千溝	-	47	千載	59	千阿僧祇	71	千無量	83		......

十進制漢字列表 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}(10^{n},\;n\leq 0)\end{smallmatrix}}}$

n	10n	前綴	n	10n	前綴	n	10n	前綴
0	個	-	-12	漠	皮	-24	涅槃寂靜
-1	分	分	-13	模糊	-	-25
-2	厘	厘	-14	逡巡	-	-26
-3	毫	毫	-15	須臾	飛	-27		柔
-4	絲	-	-16	瞬息	-	-28
-5	忽	-	-17	彈指	-	-29
-6	微	微	-18	剎那	阿	-30		亏
-7	纖	-	-19	六德	-	-31
-8	沙	-	-20	虛空	-	-32
-9	塵	奈／納[2]	-21	清靜	仄	-33
-10	埃	-	-22	阿賴耶	-	-34
-11	渺	-	-23	阿摩羅	-	-35

註：

• 亦作。
• 毫亦作毛。
• 漠是正寫，而莫並非正確寫法。
• 比漠微細的，是自天竺佛經上的數字。而這些「佛經數字」已成為古代用法了。

筹算加法

伊本·拉班加法

公元400年的孙子除法 6561/9

公元825年花拉子米除法，和孙子除法雷同

10世纪波斯数学家伊本· 拉班的除法，也源自孙子除法

筹算开方术

伊本拉班开方与筹算开方类同

一般“共识”认为现在世界通行的十进制起源于印度。从20世纪初，国际上许多学者，包括李约瑟在内对印度起源论提出了质疑。

• 早在1907年印度学者Kaye指出“我研究的目的，在于指出我们关于现代数学记数的基础很不牢固，值得重新研究。从印度文字，碑文证据，早期印度日的记数法，以及现代印度土著的风俗习惯等方面，指明现代记数可能来自外国[12]
• 印度学者Datta and Singh认为，“印度不存在记述这些数字及其基本算术运算方法的早期文献，发明人不可知”[13]
• 德国学者Menninger 认为印度十进制的起源，模糊不清。[14]
• 李约瑟指出，古印度的数字系统，用单独的符号表示10和10的倍数，相对于希腊或希伯来数字系统，毫无进步……印度数字中的0，很可能起源于东印度和中国南方文化接壤的地区。印度是否采纳中国算筹的空档而受启发？关键在于中国在比孙子算经早很多的时期，已经拥有十进位值制。[15]
• 曾任小学教师的法国通俗作家Ifrah断言，458年的印度耆那教文献Lokavibhaga中的 panchabhyah khalu shunyebhyah param dve sapta chambaram ekam trini cha rupam cha代表“五空和二和七和天，一和三和形，就是13107200000”，“是世界上最早的带零的十进位数字”。[16]。他还说，印度的零、一、二、……九的词多了，有eka，pitamaha,adi,tanu……都指“一”，dvi,ashvin,Yama, yamala, netra,bahu,guophau, paksha 都可以是“二”……[17]。有学者认为现在世界各国使用的阿拉伯数字都起源于这一系统。[18]
• 美国学者Robert Temple根据李约瑟《中国科学技术史》缩写的“Genius of China”，认为今日世界通行的十进制，真正起源地在中国[19]。
• 新加坡著名数学史家兰丽蓉认为阿拉伯数字的基本概念，不可能起源于印度婆罗迷数字，而是起源于中国筹算。筹算用九个符号代表一切数，其加法减法，天然包含在算筹之中，三减三就是从算版上取去三个算筹，算版上自然而然留下一个空位，这就是零，筹算中称为‘空’。无独有偶，印度在没有发明‘0’这个符号之前，和中国的筹算一摸一样，也用一格空档来表示零，称为“sunya”！，这就没有天然的理由了；而“983 542”到底是一个数字还是两个数值，容易产生混淆，后来印度才用“.”或“0”代表sunya。此外印度的加减乘除运算程序，上、中、下三行排列的方式，除数和被除数首位对齐，留筹算式的空白（！）而非“0”，从左往右计算的规则，商数右边留空白而没有补“0”，每算一步之后，除数右移一位，甚至余数表示为分数的上、中、下三行表示方法，居然和孙子算经中叙述的孙子除法雷同，这三点是印度十进位数字系统的基础概念全盘来自筹算的铁证。[20]。

现存最古老的运用印度数字的算术著作：10世纪波斯数学家伊本·拉班在所著《印度算术原理》中详细叙述的印度除法，印度开平方术，开立方术也同样源自孙子算经[21]

0……9符号来自印度，但背后的十进位制概念，则来自筹算。将空写成0，只是书写方式，没有概念上的发明。至于中国筹算十进制如何传入印度，兰丽蓉认为中国古时官员，商人僧侣和旅行家，腰挂算筹袋很平常，而中国和印度来往密切，传入印度不难理解。事实上早于458年一个半世纪，从公元266-399年间，就有竺法护，康法郎，于法蓝，竺佛念，慧常，进行，慧辩，支法领，法净等高僧到过印度了，此后还有著名的法显到过佛国。

• 七世纪之前，印度数字用一到九个符号，以空代零。[22]。时至今日，南印度泰米尔纳德邦仍通行九个符号加空代零，另有十、百、千符号[23]。
• 公元七世纪，印度Nagari数字出现0。[24]
• 公元八世纪唐朝太史监印度人瞿昙悉达在开元年间主持编纂的《开元占经》卷104将印度数字“·”（零）引入中国，“右天竺算法用上件九个字乘除，其字皆一举扎而成，凡数至十进入前位，每空位处恒安一点”，但只有文字叙述，未曾画出印度数吗的形状。[25]
• 学界公认，印度带“0”的十进位制最早出现在876年印度瓜廖尔Bhojadera碑文，“933”年印度历(公元876年)碑文文记述一块“270” 乘 “187” 的花园，每日给庙奉献“50”个花圈。[26][27]“933”、“270”、“187”、“50”四个印度数字，已经是现代阿拉伯数字了。
• 印度本土用印度数字的算术著作已荡然无存，但保留在多种阿拉伯文著作中。存世最古老的一本用印度数字的算术书，当推十世纪波斯数学家伊本·拉班所著的《印度算术原理》，他在该书第一章详细叙述印度十进位制数字的原理。他写道“必须认识九个数字۹۸۷۶۵۴۳۲۱，第一个是一，第二个是二，一直到九，并且头一个是个位，第二个是十位，第三百位，第四千位，第五万……十之后必须加一个零，一百之后必须加两个零，即记十为10，百为100。
• 九世纪花拉子米，十世纪伊本·拉班，十一世纪乌克里迪西等阿拉伯数学家都著有关于印度算术的著作，所述的加、减、乘、除、开平方、开立方的程序，从排列方式，留空方式，数字位移方式，以至余数、分数的表示格式，都和中国公元一世纪的九章算术、5世纪孙子算经所述的相应算术运算相同。中世纪的印度-阿拉伯数学家用沙盘进行计算.沙盘可以是带沙子的地面或一块木板，上铺一层薄沙，划上格子，用手指头或一根棍将阿拉伯数字划在格子里面。因为有格子，所以空格就代表零，不必写“0”[28]，这和中国筹算以空代零的习惯一样[29]。
• 印度文数字的0，1，2……9中的“0”，是印度数学对十进位制的重要贡献，它克服了算筹数码空档的缺点，例如可以指6，600，60000……使十进位制草算在中世纪阿拉伯国家大为流行。
• 中国南宋数学家秦九韶在算筹码中引入圆圈可能受到印度“0”的影响。