单峰

分布函数的单峰性还有其他定义。

对于连续型分布，单峰性可通过累积分布函数（CDF）的行为定义。[3]若CDF在${\displaystyle x<m}$时是凸的、在${\displaystyle x<m}$时是凹的，则分布就是单峰分布，${\displaystyle m}$为众数。需要注意的是，根据这一定义，均匀分布也是单峰分布[4]，任何在一定区间内可取到最大分布的也是单峰分布，如梯形分布。这一定义通常允许峰处不连续；在连续分布中，任意单一值的概率通常都是0，而这一定义则允许在峰中存在非零概率点。

单峰的标准也可用分布的特征函数[3]或拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换来定义。[5]

定义单峰离散分布的另一种方法是通过概率差序列的变号。[6]离散分布的概率质量函数为${\displaystyle \{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}}$，若序列${\displaystyle \dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots }$只有一次变号（不计入零），则称为单峰分布。

分布的单峰性之所以重要，是因为它可以得到几个重要的结果。下面给出的几个不等式仅适用于单峰分布，因此评估给定数据集是否来自单峰分布非常重要。双峰分布条目中给出了几种单峰测试法。

高斯不等式是第一个重要结果，[7]给出了值与峰的距离超过给定数的概率的上限，其只能用于单峰分布。

第二个是维索尚斯基–佩图宁不等式，[8]其是切比雪夫不等式的细化。切比雪夫不等式保证在任何分布中，“几乎所有”值都“接近”均值。而维索尚斯基–佩图宁不等式则将其细化到更接近的值，前提是分布函数为连续单峰的。Sellke与Sellke得出了进一步的结果。[9]

高斯在1823年也证明了单峰分布的情形[10]

${\displaystyle \sigma \leq \omega \leq 2\sigma }$

及

${\displaystyle |\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,}$

其中中位数是ν，平均数是μ， ω是与众数的均方根误差。

对于单峰分布，可以证明中位数ν与平均值μ在(3/5)^1/2 ≈ 0.7746个标准差的范围内。[11]用符号表示，

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$

其中| . |是绝对值。

2020年，Bernard、Kazzi与Vanduffel通过推导对称分位数均值${\displaystyle {\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}}$与均值[12]

${\displaystyle {\frac {\left|{\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}-\mu \right|}{\sigma }}\leq \left\{{\begin{array}{cl}{\frac {{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9(1-\alpha )}}-1}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left[{\frac {5}{6}},1\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{\frac {1-\alpha }{1/3+\alpha }}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}}\right)\!,\\{\frac {{\sqrt[{}]{\frac {3\alpha }{4-3\alpha }}}{\text{ }}+{\text{ }}{\sqrt[{}]{{\frac {4}{9\alpha }}-1}}}{2}}&{\text{for }}\alpha \in \left(0,{\frac {1}{6}}\right]\!.\end{array}}\right.}$

之间的最大距离，推广了前面的不等式。值得注意的是，${\displaystyle \alpha =0.5}$时最大距离取得最小（即当对称分位均值${\displaystyle =q_{0.5}=\nu }$），这也是选择中位数为均值的稳健估计值的原因之一。此外，当${\displaystyle \alpha =0.5}$，边界等于${\displaystyle {\sqrt {3/5}}}$，这时单峰分布中位数和均值距离的最大值。

中位数和众数θ也有类似关系：它们位于3^1/2 ≈ 1.732个标准差之内：

${\displaystyle {\frac {|\nu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

也可以证明均值和众数相差在3^1/2之内：

${\displaystyle {\frac {|\mu -\theta |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}.}$

Rohatgi与Szekely声称，单峰分布的偏度与峰度可通过不等式相联系：[13]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {6}{5}}=1.2}$

κ为峰度，γ为偏度。Klaassen、Mokveld与van Es发现，这只适于部分情形，如众数与均值重合的单峰分布集合。[14]

他们推导出了一个适用于所有单峰分布的较弱不等式：[14]

${\displaystyle \gamma ^{2}-\kappa \leq {\frac {186}{125}}=1.488}$

这个界限很锐，因为它是[0, 1]上的均匀分布和{0}处的离散分布的等权混合。