雙極圓柱坐標系

雙極圓柱坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 通常定義為

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 、

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 、

${\displaystyle z=z}$ ；

其中，點 ${\displaystyle P}$ 的 ${\displaystyle \sigma }$ 坐標等於 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 的弧度，${\displaystyle \tau }$ 坐標等於 ${\displaystyle d_{1}=F_{1}P}$ 與 ${\displaystyle d_{2}=F_{2}P}$ 的比例的自然對數

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$。

注意到焦線 ${\displaystyle F_{1}}$ 與 ${\displaystyle F_{2}}$ 的坐標分別為 ${\displaystyle x=-a}$ 與 ${\displaystyle x=a}$ 。

雙極坐標的幾何詮釋。 ${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}$ 的夾角 ${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$ 。${\displaystyle F_{1}P}$ 與 ${\displaystyle F_{2}P}$ 的比例的自然對數是 ${\displaystyle \tau }$ 。${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。

不同 ${\displaystyle \sigma }$ 的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 ${\displaystyle L_{1}}$ 與 ${\displaystyle L_{2}}$ 的圓柱面：

${\displaystyle x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}$ 。

它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 ${\displaystyle \sigma }$ 的圓柱面的圓心線都在 ${\displaystyle y>0}$ 半空間；而負值 ${\displaystyle \sigma }$ 的圓柱面的圓心線則在 ${\displaystyle y<0}$ 半空間。當絕對值 ${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時，${\displaystyle \left|\sigma \right|}$ 達到最大值 ${\displaystyle \pi /2}$ 。

不同 ${\displaystyle \tau }$ 的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為

${\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}$ 。

它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 ${\displaystyle \tau }$ 的圓柱面在 ${\displaystyle x>0}$ 半空間；而負值 ${\displaystyle \tau }$ 的圓柱面在 ${\displaystyle x<0}$ 半空間。 ${\displaystyle \tau =0}$ 平面則與 yz-平面同平面。當 ${\displaystyle \tau }$ 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。

逆變換

雙極圓柱坐標 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 可以用直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是

${\displaystyle d_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}}$ 、

${\displaystyle d_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}}$ 。

${\displaystyle \tau }$ 是 ${\displaystyle d_{1}}$ 與 ${\displaystyle d_{2}}$ 的比例的自然對數：

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$ 。

${\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}$ 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 ${\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}$ 的夾角。這夾角的弧度是 ${\displaystyle \sigma }$ 。用餘弦定理來計算：

${\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}$ 。

z-坐標的公式不變：

${\displaystyle z=z}$ 。

雙極圓柱坐標 ${\displaystyle \sigma }$ 與 ${\displaystyle \tau }$ 的標度因子相等；而 ${\displaystyle z}$ 的標度因子是 1 ：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$ 、

${\displaystyle h_{z}=1}$ 。

所以，無窮小體積元素等於

${\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz}$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$ 。

其它微分算子，例如 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ 與 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。

雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。

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