反伽瑪函數

由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數，因此最簡單的情況下可以表示為：

${\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x}$

更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義：[5]

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)}$

其中${\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty }$、a和b為滿足${\displaystyle b\geqq 0}$的實數、${\displaystyle \mu (t)}$為博雷尔测度。

不同分支的反伽瑪函數

反伽瑪函數的分支可以透過先計算${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}$在分支點${\displaystyle \alpha }$附近的泰勒級數，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。 例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似[6]；

${\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$

反伽瑪函數也有如下的渐近分析形式：[7]

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}}$

其中${\displaystyle W_{0}(x)}$是朗伯W函数。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。

反階乘的複變函數圖形

反階乘是階乘的反函數，有時記為Factorial^-1或ArcFactorial[9]，其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到[10]。 例如120的反階乘為5，因為${\displaystyle 5!=120}$。 目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。[註 1]

部分的反階乘

${\displaystyle n}$	${\displaystyle n}$的反階乘
-1	2.39393017729 + 2.66169895945${\displaystyle i}$
0	不存在
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	0.28307261544 + 1.09787390370${\displaystyle i}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
1	1
2	2
3	2.4058699863
4	2.6640327972
5	2.8523554580
6	3
24	4

反伽瑪函數與反階乘的關係為：

${\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1}$

這是由於：

${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$

反階乘可以定義為：

${\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z}$

條件是${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)}$在復平面上是全純的，並且沿著實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到${\displaystyle -\infty }$。

在分支點${\displaystyle z=\mu _{0}}$附近的反階乘可以展開為；

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}}$

由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}$

因此，反階乘也可以寫成如下的渐近分析形式：[7]

${\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}$

其中${\displaystyle W_{0}(x)}$是朗伯W函数。

• 倒數伽瑪函數