史特靈公式

这个公式，以及误差的估计，可以推导如下。首先不直接估计n!，而是考虑它的自然对数：

${\displaystyle \ln(n!)=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n.}$

即:

${\displaystyle \ln(n!)-{\frac {\ln n}{2}}=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln n-{\frac {\ln n}{2}}.}$

这个方程的右面是积分${\displaystyle \int _{1}^{n}\ln(x)\,dx=n\ln n-n+1}$的近似值（利用梯形法则），而它的误差由欧拉-麦克劳林公式给出：

${\displaystyle \ln(n!)-{\frac {\ln n}{2}}=\ln 1+\ln 2+\cdots +\ln(n-1)+{\frac {\ln n}{2}}=n\ln n-n+1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)}}\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R_{m,n}.}$

其中B_k是伯努利数，R_m,n是欧拉-麦克劳林公式中的余项。取极限，可得：

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\ln n!-n\ln n+n-{\frac {\ln n}{2}}\right)=1-\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R_{m,n}.}$

把这个极限记为y。由于欧拉-麦克劳林公式中的余项R_m,n满足：

${\displaystyle R_{m,n}=\lim _{n\to \infty }R_{m,n}+O\left({\frac {1}{n^{2m-1}}}\right),}$

其中用到了大O符号，与以上的方程结合，便得出对数形式的近似公式：

${\displaystyle \ln n!=n\ln \left({\frac {n}{e}}\right)+{\frac {\ln n}{2}}+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{2m-1}}}\right).}$

两边取指数，并选择任何正整数m，便得到了一个含有未知数e^y的公式。当m=1时，公式为：

${\displaystyle n!=e^{y}{\sqrt {n}}~{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left[1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right]}$

将上述表达式代入沃利斯乘积公式，并令n趋于无穷，便可以得出e^y（${\displaystyle e^{y}={\sqrt {2\pi }}}$）。因此，我们便得出斯特林公式：

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}~{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left[1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right]}$

这个公式也可以反复使用分部积分法来得出，首项可以通过最速下降法得到。把以下的和

${\displaystyle \ln(n!)=\sum _{j=1}^{n}\ln j}$

用积分近似代替，可以得出不含${\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}}$的因子的斯特林公式（这个因子通常在实际应用中无关）：

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\ln j\approx \int _{1}^{n}\ln x\,dx=n\ln n-n+1.}$

考虑如下近似关系：

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln n!&=\sum _{k=1}^{n}\ln k\\&\approx \int _{1}^{n}\ln x\mathrm {d} x=n\ln n-n+1\\&\approx n\ln n-n\end{aligned}}}$

以及阶乘的积分形式（Γ函数）：

${\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x}$

其中被积函数取对数后求导结果可写成：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(\mathrm {e} ^{-x}x^{n})={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(n\ln x-x)={\frac {n}{x}}-1}$

因此被积函数只有在${\displaystyle x=n}$附近才趋于平稳，现令${\displaystyle x\equiv n+\xi }$且${\displaystyle \xi \ll n}$，并改写成如下形式：

${\displaystyle \ln(x^{n}\mathrm {e} ^{-x})=n\ln x-x=n\ln(n+\xi )-(n+\xi )}$

于是有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(n+\xi )&=\ln \left[n\left(1+{\frac {\xi }{n}}\right)\right]=\ln n+\ln \left(1+{\frac {\xi }{n}}\right)\\&=\ln n+{\frac {\xi }{n}}-{\frac {\xi ^{2}}{2n^{2}}}+\cdots \end{aligned}}}$

因此可以得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x^{n}\mathrm {e} ^{-x})&=n\ln(n+\xi )-(n+\xi )\\&=n\ln n+\xi -{\frac {\xi ^{2}}{2n}}-n-\xi +\cdots \\&=n\ln n-n-{\frac {\xi ^{2}}{2n}}+\cdots \end{aligned}}}$

两边同时作指数函数运算，变成：

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}\mathrm {e} ^{-x}&\approx \mathrm {e} ^{n\ln n}\mathrm {e} ^{-n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\xi ^{2}}{2n}}}\\&=n^{n}\mathrm {e} ^{-n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\xi ^{2}}{2n}}}\end{aligned}}}$

代入到阶乘的积分表示形式，得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}n!&\approx \int _{-n}^{\infty }n^{n}\mathrm {e} ^{-n}\mathrm {e} ^{-{\frac {\xi ^{2}}{2n}}}\mathrm {d} \xi \\&\approx n^{n}\mathrm {e} ^{-n}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-{\frac {\xi ^{2}}{2n}}}\mathrm {d} \xi \end{aligned}}}$

约等号后侧得到的是高斯积分的形式，计算该积分得出斯特林公式：

${\displaystyle n!\approx n^{n}\mathrm {e} ^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}$