反對稱矩陣

若${\displaystyle A}$是${\displaystyle n\times n}$的斜對稱矩陣，其行列式滿足

${\displaystyle \operatorname {det} (A)=\operatorname {det} (A^{T})=\operatorname {det} (-A)=(-1)^{n}\operatorname {det} (A)}$。

• 若${\displaystyle n}$是奇數，行列式等於零。這個結果叫雅可比定理。
• 若${\displaystyle n}$是偶數，行列式可以寫成部分元素的多項式的平方：${\displaystyle \operatorname {det} (A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}}$。

這個多項式${\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}$叫${\displaystyle A}$的普法夫行列式。任意實斜對稱矩陣的行列式是非負數。

斜對稱矩陣的特征根永遠以成對的形式（±λ）出現，因此一個實數斜對稱矩陣的非零特征根為純虛數將會如下：iλ₁, −iλ₁, iλ₂, −iλ₂, …，其中 λ_k 是實數。

实斜对称矩阵是正规矩阵（它们与伴随矩阵可交换），因此满足谱定理的条件，它说明任何实斜对称矩阵都可以用一个酉矩阵对角化。由于实斜对称矩阵的特征值是复数，因此无法用实矩阵来对角化。然而，通过正交变换，可以把每一个斜对称矩阵化为方块对角线的形式。特别地，每一个2n × 2n的实斜对称矩阵都可以写成A = Q Σ Q^T的形式，其中Q是正交矩阵，且：

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

对于实数λ_k。这个矩阵的非零特征值是±iλ_k。在奇数维的情况中，Σ总是至少有一个行和一个列全是零。