古埃及分數

贪婪算法：将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少，称为第一种好算法；最大的分母数值最小，称为第二种好算法。 例如：

${\displaystyle {\frac {2}{7}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}}$。共2项，是第一种好算法，比${\displaystyle {\frac {2}{7}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}}$的项数要少。

又例如， ${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}}$比 ${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{759}}+{\frac {1}{208725}}}$ 的最大分母要小，所以是第二种好算法。

1. 找出僅小於${\displaystyle r={\frac {a}{b}}}$的最大單位分數。這個分數的分母的計算方法是：即用${\displaystyle b}$除以${\displaystyle a}$，捨去餘數，再加1。（如果沒有餘數，則${\displaystyle r}$已是單位分數。）
2. 把${\displaystyle r}$減去單位分數，以這個新的、更小的${\displaystyle r}$重複步驟1。

例子：把${\displaystyle {\frac {19}{20}}}$轉成單位分數。

• ${\displaystyle \lfloor 20\div 19\rfloor =1}$，所以第1個單位分數是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$；
• ${\displaystyle {\frac {19}{20}}-{\frac {1}{2}}={\frac {9}{20}}}$；
• ${\displaystyle \lfloor 20\div 9\rfloor =2}$，所以第2個單位分數是${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$；
• ${\displaystyle {\frac {9}{20}}-{\frac {1}{3}}={\frac {7}{60}}}$；
• ${\displaystyle \lfloor 60\div 7\rfloor =8}$，所以第3個單位分數是${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$；
• ${\displaystyle {\frac {7}{60}}-{\frac {1}{9}}={\frac {1}{180}}}$已是單位分數。

所以結果是：

${\displaystyle {\frac {19}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{180}}}$。

詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特和斐波那契都提出過以上的方法。

這個算法是基於貝祖等式的：當${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$互質，${\displaystyle ax-by=1}$有無窮多對正整數解${\displaystyle (x,y)}$。

選取最小的正整數解${\displaystyle (m,n)}$。取單位分數分母為${\displaystyle bm}$，重複步驟。

以${\displaystyle {\frac {7}{10}}}$為例：

• ${\displaystyle 7\times 3-10\times 2=1}$ ，所以第1個單位分數是${\displaystyle {\frac {1}{30}}}$；
• ${\displaystyle 2\times 2-3\times 1=1}$，所以第2個單位分數是${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$；
• 第3個單位分數是${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$。

最基本的方法就是將分數寫成二進制數，便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。

換個說法就是重複求最小的正整數${\displaystyle n}$使得${\displaystyle {\frac {x}{y}}>{\frac {1}{2^{n}}}}$。

這個方法的效率很低。

一個改善之道是選取正整數${\displaystyle n}$使得${\displaystyle (2^{n}\times x){\bmod {y}}<2^{n+1}}$。選取適當的正整數${\displaystyle r,s}$（${\displaystyle r<y}$）使得${\displaystyle 2^{n}\times x=sy+r}$。${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {s}{2^{n}}}+{\frac {r}{2^{n}\times y}}}$。將${\displaystyle {\frac {s}{2^{n}}},{\frac {r}{2^{n}}}}$寫成二進制數。

例如： ${\displaystyle {\frac {18}{23}}}$：

• ${\displaystyle (4\times 18){\bmod {2}}3<8}$，${\displaystyle 4\times 18=23\times 3+3}$
• ${\displaystyle {\frac {18}{23}}={\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4\times 23}}}$
• ${\displaystyle {\frac {3}{4}}=0.15={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}}$
• ${\displaystyle {\frac {18}{23}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2\times 23}}+{\frac {1}{4\times 23}}}$

將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同，可以用以下其中一種處理方式：

1. 若它們的分母是雙數，便用它們的和取代；若它們的分母是單數，設它們的分母為${\displaystyle 2k-1}$，用${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{(2k-1)k}}}$取代。
2. 設它們的分母為${\displaystyle p}$，用${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+1}}+{\frac {1}{(p+1)p}}}$取代。

或是${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n(n+1)}}}$←${\displaystyle n}$可等於任意正整數

${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$表示成为一个级数形式：

${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{(n+1)^{4}}}+...+{\frac {1}{(n+1)^{k}}}+{\frac {1}{n(n+1)^{k}}}}$

• 參看Engel展開式。方法類同於貪心法