代数

符號代數發展的階段可大致區分如下：

• 文辭代數，其發展於巴比倫時期，且直至16世紀都還維持著其主流的地位；
• 幾何建構代數，被吠陀時期和古典希臘數學家們所強調著；
• 簡字代數，由丟番圖所發展並寫於巴赫沙里手稿中；及
• 符號代數，在萊布尼茨時期達到尖峰。

丟番圖著的Arithmetica1621年版的封面，由梅齊里亞克翻成拉丁文。

代數數個關鍵的發展的時間軸，表述如下：

• 西元前1800年左右，舊巴比倫斯特拉斯堡泥板書中記述其尋找著二次橢圓方程的解法。
• 西元前1600年左右，普林頓322號泥板書中記述了以巴比倫楔形文字寫成的勾股數列表。
• 西元前800年左右，印度數學家包德哈亞那在其著作包德哈爾那繩法經中以代數方法找到了勾股數，給出了線性方程和如${\displaystyle ax^{2}=c}$與${\displaystyle ax^{2}+bx=c}$等形式之二次方程的幾何解法，且找出了兩組丟番圖方程組的正整數解。
• 西元前600年左右，印度數學家阿帕斯檀跋在其著作'阿帕斯檀跋繩法經中給出了一次方程的一般解法和使用多達五個未知數的丟番圖方程組。
• 西元前300年左右，在幾何原本的第二卷裡，歐幾里德給出了有正實數根之二次方程的解法，使用尺规作图的幾何方法。此一方法是基於幾何學中的畢達哥拉斯學派。
• 西元前300年左右，倍立方的幾何解法被提了出來。現已知道此問題無法使用尺规作图求解。
• 西元前100年左右，中國數學書《九章算術》中處理了代數方程的問題，其包括用試位法解線性方程、二次方程的幾何解法及用相當於現今所用之消元法來解線性方程組。还应用一次内插法。
• 西元前100年左右，寫於古印度的巴赫沙里手稿中使用了以字母和其他符號寫成的代數標記法，且包含有三次與四次方程，多達五個未知道的線性方程之代數解，二次方程的一般代數公式，以及不定二次方程與方程組的解法。
• 西元150年左右，希臘化埃及數學家希羅在其三卷數學著作中論述了代數方程。
• 200年左右，希臘化巴比倫數學人丟番圖，他居住於埃及且常被認為是「代數之父」，寫有一本著名的算術，此書為論述代數方程的解法及數論之作。
• 不晚于473年，《孙子算经》提出中国余数定理。
• 499年，印度數學家阿耶波多在其所著之阿耶波多書裡以和現代相同的方法求得了線性方程的自然數解，描述不定線性方程的一般整數解，給出不定線性方程組的整數解，而描述了微分方程。
• 600年刘焯编制《皇极历》曾用等间距内插法。[4]
• 625年左右，中國數學家王孝通在《緝古算經》找出了三次方程的數值解。
• 628年，印度數學家婆羅摩笈多在其所著之梵天斯普塔釋哈塔中，介紹了用來解不定二次方程的宇宙方法，且給出了解線性方程和二次方程的規則。他發現二次方程有兩個根，包括負數和無理數根。
• 724年，僧一行用不等间距内插法计算《大衍历》[5]
• 820年，代數(algebra)導源於一個運算，其描述於波斯數學家花拉子米所著之完成和平衡计算法概要中對於線性方程與二次方程系統性的求解方法。花拉子米常被認為是「代數之父」，其大多數的成果簡化後會被收錄在書籍之中，且成為現在代數所用的許多方法之一。
• 850年左右，波斯數學家al-Mahani相信可以將如加倍立方體問題等幾何問題變成代數上的問題。
• 850年左右，印度數學家摩訶吠羅解出了許多二次、三次、四次、五次及更高次方程，以及不定二次、三次和更高次方程的解。
• 990年左右，波斯阿爾卡拉吉在其所著之al-Fakhri中更進一步地以擴展花拉子米的方法論來發展代數，加入了未知數的整數次方及整數開方。他將代數的幾何運算以現代的算術運算代替，且定義了單項式${\displaystyle x}$、${\displaystyle x^{2}}$、${\displaystyle x^{3}}$、…和${\displaystyle 1/x}$、${\displaystyle 1/x^{2}}$、${\displaystyle 1/x^{3}}$、…等並給出上述任兩個相乘的規則。
• 1050年左右，中國數學家賈憲用贾宪三角形找到了多項式方程的數值解。
• 1072年，波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出來代數幾何，且在Treatise on Demonstration of Problems of Algebra中給出了可以以圓錐曲線相交來得到一般幾何解之三次方程的完整分類。
• 1090年左右，北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中给出高阶等差级数的和。
• 1114年，印度數學家婆什迦羅在其所著之代數學'中，認知到一正數會有正負兩個平方根，且解出一個以上未知數的二次方程、許多三次、四次及更高次多項式方程、佩爾方程、一般的不定二次方程，以及不定三次、四次及更高次方程。
• 1150年，婆什迦拉在其所著之Siddhanta Shiromani中解出了微分方程。
• 1202年，代數傳到了歐洲，斐波那契所著的計算之書對此有很大的貢獻。
• 1247年南宋数学家秦九韶在《数书九章》中用秦九韶算法（即“霍纳法算法”）解一元高次方程。
• 1248年，金朝数学家李冶的《测圆海镜》利用天元术将大量几何问题化为一元多项式方程，是一部几何代数化的代表作。
• 1300年左右，中國數學家朱世杰處理了多項式代數，发明四元术解答了多達四個未知數的多项式方程组，发明非线性多元方程的消元法，将相关多项式进行乘法、加法和减法运算，逐步消元，将多元非线性方程组化为单个未知数的高次多项式方程；并以數值解出了288个四次、五次、六次、七次、八次、九次、十次、十一次、十二次、和十四次次多項式方程[6]。朱世杰发展了垛积术，给出多种高阶等差级数求和公式。
• 1400年左右，印度數學家瑪達瓦找到了以重複來求超越方程的解法，求非線性方程解的疊代法及微分方程的解法。
• 1515年，費羅求得了沒有兩次項之三次方程的解。
• 1535年，塔爾塔利亞求得了沒有一次項之三次方程的解。
• 1545年，卡爾達諾出版了大術一書，書中給出了各種三次方程的解法和其學生費拉里對一特定四次方程的解法。
• 1572年，拉斐尔·邦贝利認知到三次方程中的複根並改進了當時流行的符號。
• 1591年，弗朗索瓦·韋達出版了分析方法入門一書，書中發展出了更為良好的符號標記，在未知數不同的次方上。並且使用母音來表示未知數而子音則用來表示常數。
• 1631年，托马斯·哈里奥特在其死後的出版品中使用了指數符號且首先以符號來表示「大於」和「小於」。
• 1682年，萊布尼茨發展出他稱做一般性特徵(characteristica generalis)之形式規則的符號操作概念。
• 1683年，日本數學家關孝和在其所著之Method of solving the dissimulated problems中發明了行列式、判別式及伯努利數。
• 1685年，關孝和解出了三次方程的通解，及一些四次與五次方程的解。
• 1693年，萊布尼茨使用矩陣和行列式解出了線性方程組的解。
• 1750年，加布里爾·克拉默在其所著之Introduction to the analysis of algebraic curves中描述了克萊姆法則且研究了代數曲線、矩陣和行列式。
• 1830年，伽羅瓦理論在埃瓦裡斯特·伽羅瓦對抽象代數的工作中得到發展。

結合上面的概念可給出在數學中最重要的結構之一：群。群為一個集合${\displaystyle S}$和一二元運算*之結合，使其可有如下性質：

• 此運算是封閉的：若${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$為${\displaystyle S}$之元素，則${\displaystyle a*b}$也會是。

實際上，提及此性質是很多餘的，因為每一個二元運算都已經說過其運算為封閉了。但封閉性经常被强調為群的一種性質。

• 存在單位元素${\displaystyle e}$，使得對每個於${\displaystyle S}$內的元素${\displaystyle a,e*a}$和${\displaystyle a*e}$都會等同於${\displaystyle a}$。
• 每一元素都存在一逆元素：對每一於${\displaystyle S}$內的元素${\displaystyle a}$，存在一元素${\displaystyle a^{-1}}$，使得${\displaystyle a*a^{-1}}$和${\displaystyle a^{-1}*a}$都會等同於單位元素。
• 此運算是可結合的：若${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$為${\displaystyle S}$的元素，則${\displaystyle (a*b)*c}$會等同於${\displaystyle a*(b*c)}$。

若一群亦為可交換的－即對任兩個於${\displaystyle S}$內的元素${\displaystyle a}$和${\displaystyle b,a*b}$會等同於${\displaystyle b*a}$－則此群稱為阿貝爾群。

例如，加法的運算下之整數集合為一個群。在此一群中，其單位元素是 ${\displaystyle 0}$ 且其任一元素 ${\displaystyle a}$ 的逆元素為其負數 ${\displaystyle -a}$。其有關結合律的要求亦是吻合的，因為對任何整數 ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$，${\displaystyle \left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)}$。

非零有理數會形成一個於乘法下的群。在此，其單位元為 ${\displaystyle 1}$，當對於任一有理數 ${\displaystyle a}$，${\displaystyle 1\times a=a\times 1=a}$。${\displaystyle a}$ 的逆元素為 ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$，當 ${\displaystyle a\times {\frac {1}{a}}=1}$。

但無論如何，於乘法運算下的整數不會形成一個群。這是因此一整數的乘法逆元通常不會是一個整數。例如，${\displaystyle 4}$是一個整數，但其乘法逆元為${\displaystyle 1/4}$，不為一個整數。

群的理論被學習於群論中。此一理論的一主要成果為有限簡單群分類，主要發表於1955年至1983年之間，其目的在於將所有的有限簡單群分類至約30種的基本類型中。

例子
集合:	自然數${\displaystyle \mathbb {N} }$		整數${\displaystyle \mathbb {Z} }$		有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$（實數${\displaystyle \mathbb {R} }$、複數${\displaystyle \mathbb {C} }$）				整數同餘${\displaystyle 3}$: ${\displaystyle \{0,1,2\}}$
運算	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \times }$ （不含零）	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \times }$ （不含零）	${\displaystyle +}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle \times }$ （不含零）	${\displaystyle \div }$（不含零）	${\displaystyle +}$	${\displaystyle \times }$ （不含零）
封閉性	是	是	是	是	是	是	是	是	是	是
單位元素	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	NA	${\displaystyle 1}$	NA	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
逆元素	NA	NA	${\displaystyle -a}$	NA	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0,2,1}$	分別為NA,${\displaystyle 1,2}$
結合律	是	是	是	是	是	否	是	否	是	是
交換律	是	是	是	是	是	否	是	否	是	是
結構	幺半群	幺半群	阿貝爾群	幺半群	阿貝爾群	擬群	阿貝爾群	擬群	阿貝爾群	阿貝爾群（${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$）

半群、擬群和幺半群是類似於群的結構，但更具一般性。它們由一個集合和一個封閉二元運算所組成，但不必然滿足其他條件。半群有一結合二元運算，但沒有單位元素。幺半群是一有單位元素但可能沒有每個元素之逆元素的半群。擬群滿足任一元素皆以一唯一的前或後運算轉換成另一元素，但此一二元運算可能不具結合律。

所有的群都是幺半群，且所有的幺半群都是半群。

群只有一個二元運算。但為了完整說明不同類型的數之行為，具兩個運算子的結構是需要的。其中最重要的為環和體。

分配律廣義化了數中的分配律，且要求其運算子運算時應採之順序（稱為優先權）。對於整數而言，${\displaystyle (a+b)\times c=a\times c+b\times c}$且${\displaystyle c\times (a+b)=c\times a+c\times b}$，而且${\displaystyle \times }$稱之此於+上是可分配的。

環有兩個二元運算${\displaystyle +}$和${\displaystyle \times }$，其中${\displaystyle \times }$於${\displaystyle +}$上是可分配的。在第一個運算${\displaystyle +}$下，它會形成一個阿貝爾群。而在第二個運算${\displaystyle \times }$下，其為結合的，但不需要有一單位元素或逆元素，所以除法是不被允許的。其加法${\displaystyle +}$單位元寫成${\displaystyle 0}$，而其${\displaystyle a}$的加法逆元則寫成${\displaystyle -a}$。

整數是環的一個例子。其有使其為一整環的額外性質。

體是一具有在運算${\displaystyle \times }$下，除了${\displaystyle 0}$的所有元素會形成一阿貝爾群之額外性質的環。其乘法${\displaystyle \times }$單位元素寫成${\displaystyle 1}$，而其${\displaystyle a}$的乘法逆元則寫成${\displaystyle a^{-1}}$。

有理數、實數和複數都是體的例子。