可测函数

以下將逐條檢驗 ${\displaystyle \Sigma }$ 是否符合σ代數的定義

(1) ${\displaystyle Y\in \Sigma }$

因為：

${\displaystyle f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X}}$

所以 ${\displaystyle Y\in \Sigma }$。

(2) ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ，則 ${\displaystyle Y-B\in \Sigma }$

若 ${\displaystyle B\in \Sigma }$ ，因為：

${\displaystyle f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$

所以 ${\displaystyle Y-B\in \Sigma }$ 。

(3)可數個并集仍在 ${\displaystyle \Sigma }$ 中

若 ${\displaystyle \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$ ，那因為：

${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X}}$

所以 ${\displaystyle \bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$ 。

綜上所述， ${\displaystyle \Sigma }$ 的確是${\displaystyle Y}$ 的σ代數。${\displaystyle \Box }$

(1 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 2)

若對所有 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 都有：

${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$

換句話說：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$

那根據本節之定理(1)和最小σ代数 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 的定義有：

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$

換句話說，只要 ${\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 就有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$，故 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$ - ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 可測函數。${\displaystyle \Box }$

(2 ${\displaystyle \Rightarrow }$ 1)

若對所有${\displaystyle B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})}$ 都有 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$，換句話說：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}}$

這樣的話，的確可以從 ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}}$ 推出 ${\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}}$ 。${\displaystyle \Box }$

根據定理(2)， ${\displaystyle g\circ f}$ 為 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Z})}$可測函數等價於：

「對所有的 ${\displaystyle C\in \tau _{Z}}$ ， ${\displaystyle {(g\circ f)}^{-1}(C)=f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}}$」

但因為${\displaystyle g}$ 為 ${\displaystyle \tau _{Y}}$ - ${\displaystyle \tau _{Z}}$ 连续函數，故：

「對所有的 ${\displaystyle C\in \tau _{Z}}$ ， ${\displaystyle g^{-1}(C)\in \tau _{Y}\subseteq \sigma (\tau _{Y})}$」

但 ${\displaystyle f}$ 又為 ${\displaystyle \Sigma _{X}}$- ${\displaystyle \sigma (\tau _{Y})}$可測函數，故可以得到 ${\displaystyle f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}}$ ，所以本定理得証。${\displaystyle \Box }$