隐函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若${\displaystyle f}$是一个函数，那么${\displaystyle f}$的反函数记作${\displaystyle f^{-1}}$, 是给出下面方程解的函数

${\displaystyle x=f(y)}$

用x表示y。这个解是

${\displaystyle y=f^{-1}(x).}$

直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于${\displaystyle y}$的解

${\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,}$

例子

1. 对数函数 ${\displaystyle \ln x}$ 给出方程${\displaystyle x-e^{y}=0}$或等价的${\displaystyle x=e^{y}}$的解${\displaystyle y=\ln x}$。 这里${\displaystyle f(y)=e^{y}}$并且${\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x}$。
2. 朗伯W函數則可以解出${\displaystyle x-ye^{y}=0}$的${\displaystyle y}$值。

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 ${\displaystyle x}$ 的代数函数给出一个方程中 ${\displaystyle y}$ 的解。

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,}$

其中係數 ${\displaystyle a_{i}(x)}$ 為 ${\displaystyle x}$ 的多項式函數。

代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例：

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,}$

那麼 ${\displaystyle y}$ 的顯函數解顯然是：

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,}$

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。

對於y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見阿贝尔-鲁菲尼定理），例如：

${\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,}$

但是，我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

• 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

把一元隐函数${\displaystyle y=g(x)}$看作二元函数${\displaystyle f(x,y)=0}$，若欲求${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$，對${\displaystyle f}$取全微分，可得${\displaystyle df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0}$，經過移項可得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}$

（式中${\displaystyle f_{x}}$表示${\displaystyle f(x,y)}$關於${\displaystyle x}$的偏导数${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$，以此類推）。

把2元隐函数${\displaystyle y=g(x,z)}$看作3元函数${\displaystyle f(x,y,z)=0}$，若欲求${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$，對${\displaystyle f}$取全微分，可得${\displaystyle df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0}$ 。

由於所求為${\displaystyle {\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}}$，令z為常數，即${\displaystyle dz=0}$，經過移項可得${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}}$

• 針對1元隱函數，把${\displaystyle y}$看作${\displaystyle x}$的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对${\displaystyle x}$求导，再通过移项求得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$的值。
• 針對2元隱函數，把${\displaystyle y,z}$看作${\displaystyle x}$的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对${\displaystyle x}$求导，令${\displaystyle dz=0}$，再通过移项求得${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}}$的值。

• 針對${\displaystyle y^{n}}$：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}}$

• 針對${\displaystyle x^{m}y^{n}}$：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}}$

• 求${\displaystyle \ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10}$中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。

${\displaystyle {\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10}$

1.兩邊皆取其相應的導數，得出

${\displaystyle {\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0}$

2.移項處理。

${\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}}$

3.提出導數因子。

${\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

4.移項處理。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}}$

5.完成。得出其導數為${\displaystyle {\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5}}{21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5}}}}$。

6.選擇性步驟：因式分解。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)}}}$