可积函数

数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。

注意，函数可以有不定积分（反导数），而并不在如下的定义中可积。例如函数

${\displaystyle F(x)=\sin(x)}$

是

${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$

的不定积分，但是f(x)不是实数上的可积函数。这种情况在不定积分在每个方向都有极限的时候也可能成立，例如

${\displaystyle F(x)=\sin(x)/x}$ ${\displaystyle (x\geq 1)}$

其导数${\displaystyle f(x)=\cos(x)/x-\sin(x)/x^{2}}$不是从1到无穷可积的。积分区间不是无穷的时候也会出现这种情况，譬如不定积分

${\displaystyle F(x)=x\sin(1/x)}$ ${\displaystyle (0<x\leq 1)}$

其导数${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)-\cos(1/x)/x}$不是从0到1可积的。（无论f(x)在0点取何值，它都是在该点不连续的，而F'(0)无定义，所以微积分基本定理在[0, 1]上不适用。）