不定积分

不定积分的一个重要应用是计算定积分，微积分基本定理建立了两者间的关系。

微积分基本定理：如果函數 ${\displaystyle f}$是闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的连续函数，${\displaystyle F}$ 是 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上的一个反導函数，那么有

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

证明：取区间${\displaystyle [a,b]}$的一个分割：${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b}$，又设${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}$，根据均值定理有 ${\displaystyle \xi _{i}\in (a,b)}$， 使得

${\displaystyle F(x_{i+1})-F(x_{i})=F^{\prime }(\xi _{i})\cdot \Delta x_{i}}$

所以

${\displaystyle {\begin{aligned}F(b)-F(a)&=\sum _{i=0}^{n-1}(F(x_{i+1})-F(x_{i}))\\&=\sum _{i=0}^{n-1}F^{\prime }(\xi _{i})\cdot \Delta x_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\cdot \Delta x_{i}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle f}$ 在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上连续，故可使用黎曼可积，讓 ${\displaystyle \sup _{0\leq i\leq n-1}\{\Delta x_{i}\}\leq \lambda }$ 于是當 ${\displaystyle \lambda \to 0}$，也就是分割越來越細時有

${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\cdot \Delta x_{i}=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$

于是有

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$。

${\displaystyle f}$ 的每个反導函数都可以叫做 ${\displaystyle f}$ 的不定积分，简写作${\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x.}$，因为在计算定积分时，积分常数在相减时消掉了。如果 ${\displaystyle F}$ 定义在几个不同的区间上，那么每个区间上的积分常数可以互不相同。例如

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+C_{1}\qquad x<0\\-{\frac {1}{x}}+C_{2}\qquad x>0\end{cases}}}$

就是函數 ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}}$ 的不定积分的一般形式。其定義域為 ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )}$。

什么样的函数具有反導函数是微积分基本定理中的基本问题。首先，每个连续函数都有反導函数，并且由上面可知，任一函數的反導函数如果存在的話會有无限多个。其次，由微分基本性質可知，对于一个有反導函数的函数，其反導函数在某点取某特定值的只有一个。要證明存在性，假設函數 ${\displaystyle f}$ 的反導函數在 ${\displaystyle a}$ 點为零，則它可以表示为如下的由积分定義的函数：

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

且${\displaystyle \,\Phi (a)=0}$。

下面给出這函数是 ${\displaystyle f}$ 的反導函数的证明：

证明：

${\displaystyle \Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)=\int _{a}^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =\int _{x}^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle =f(\xi )\cdot \Delta x}$，其中${\displaystyle x<\xi <x+\Delta x\ }$，当${\displaystyle \Delta x\to 0}$时，${\displaystyle \xi }$趋向于${\displaystyle x}$。

所以有${\displaystyle \Phi ^{\prime }(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(\xi )=f(x)}$。

進一步可知：${\displaystyle f}$ 的反導函数中在点 ${\displaystyle a}$上取值为 ${\displaystyle A}$ 的只有一个，就是${\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t+A}$。

这也可以看作是微积分基本定理另一个表达形式。

不连续的函数也可以有反導函數，例如考虑函数${\displaystyle f\ }$：

当${\displaystyle x\neq 0}$时${\displaystyle f(x)=2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}}$，${\displaystyle \displaystyle f(0)=0}$

这个函数在0上不连续，但可以验证函数：${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin {\tfrac {1}{x}}}$（${\displaystyle x\neq 0}$时），${\displaystyle \displaystyle F(0)=0}$ 是 ${\displaystyle f}$ 的反導函數。

许多看似很“简单”的函数的反導函數是无法用初等函数[註 2]来表达，比如说如下几个不定积分：

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,\mathrm {d} x}$。

它们的积分同样存在，定义为：

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (x)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {Si} (x)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{\ln x}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {Li} (x)+C}$

其中erf函数为误差函数，Si函数为三角积分，Li函数为对数积分。

关于什么时候反導函數可以用初等函数表达，可参见刘维尔定理。