右连左极函数

在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。

定义

累积分布函数是右连左极函数的一个例子。

令 $(M,d)$ 为度量空间，并令 $E\subseteq \mathbb {R}$ 。函数 $f:E\to M$ 称为右连左极函数。若对于每一 $t\in E$ ，都有

左极限 $f(t-):=\lim _{s\uparrow t}f(s)$ 存在；且
右极限 $f(t+):=\lim _{s\downarrow t}f(s)$ 存在并等於 $f(t)$ ，

即 $f$ 是右连续的且有左极限。

例子

全部连续函数都是右连左极函数。
由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

斯科罗霍德空间

从 $E$ 到 $M$ 的所有右连左极函数的集合常记为 $D(E;M)$ 或简记为 $D$ ，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓撲結構，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收斂拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取 $E=[0,T]$ ， $M=\mathbb {R} ^{n}$ （Billingsley的书中描述了更一般的拓扑）

首先我们必须定义连续性模的一个模拟 $\varpi '_{f}(\delta )$ 。对於任意 $F\subseteq E$ ，使

w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|

且对於 $\delta >0$ ，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为

\varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),

其中最大下界对所有划分 $\Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\}$ ， $k\in \mathbb {N}$ 都存在，且 $\max _{i}(t_{i}-t_{i-1})<\delta$ 。这一定义对於非右连左极函数 $f$ 是有意义的（就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的）且可以说明 $f$ 是右连左极函数当且仅当 $\delta \to 0$ 时 $\varpi '_{f}(\delta )\to 0$ 。

这是令 $\Lambda$ 表示从 $E$ 到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令

\|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|

表示 $E$ 上的函数的一致范数。将 $D$ 上的斯科罗霍德度量（Skorokhod metric） $\sigma$ 定义为

\sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},

其中 $I:E\to E$ 是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看， $\|\lambda -I\|$ 度量了“时间的蠕动”，而 $\|f-g\circ \lambda \|$ 度量了“空间的蠕动”。

我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由 $\sigma$ 生成的拓扑 $\Sigma$ 称为 $D$ 上的斯科罗霍德拓扑（Skorokhod topology）。

斯科罗霍德空间的性质

一致拓扑的一般化

E 上的连续函数空间C 是D 的一个子空间。相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。

完备性

虽然D 不是关於斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间，但是可以证明存在具完备性的关於D 的拓扑等价度量 σ₀ 。

分离性

关於σ 或σ₀ 的D 是可分空间，因此斯科罗霍德空间是波蘭空間。

斯科罗霍德空间中的胎紧性

通过应用阿尔泽拉－阿斯科利定理，我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列 $(\mu _{n})_{n=1}^{\infty }$ 是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件：

\lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,

和

\lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.

代数结构与拓扑结构

在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D 不是一个拓扑群。

参考文献

Billingsley, Patrick. . New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2.
Billingsley, Patrick. . New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.

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