唐纳森-托马斯理论

对于卡拉比-丘三维流形${\displaystyle Y}$[3][4]与固定的上同调类${\displaystyle \alpha \in H^{\text{even}}(Y,\mathbb {Q} )}$，有相关的相容层（陈示性类${\displaystyle c({\mathcal {E}})=\alpha }$）的模叠${\displaystyle {\mathcal {M}}(Y,\alpha )}$。一般来说，这是个无限类的非分离亚廷叠，很难在其上定义数值不变量。相反，有些开放子叠${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )}$参数化了这种相容层${\displaystyle {\mathcal {E}}}$，具有施加的稳定性条件${\displaystyle \sigma }$，即${\displaystyle \sigma }$稳定层。这些模叠具有更好的性质，比如被有限类型分离。唯一的困难在于，由于存在固定层的变形阻碍，它们可能具有不良的奇点。特别地

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{[{\mathcal {E}}]}{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\\{\text{Ob}}_{[{\mathcal {E}}]}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ))&\cong {\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\end{aligned}}}$

由于${\displaystyle Y}$是卡拉比-丘流形，所以塞尔对偶性意味着

${\displaystyle {\text{Ext}}^{2}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}\otimes \omega _{Y})^{\vee }\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}})^{\vee }}$

其给出了维数为0的完美阻碍理论。特别地，这意味着相关的虚基类

${\displaystyle [{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}\in H_{0}({\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha ),\mathbb {Z} )}$

的同调度为${\displaystyle 0}$，然后可以定义DT不变量：

${\displaystyle \int _{[{\mathcal {M}}^{\sigma }(Y,\alpha )]^{vir}}1}$

其取决于稳定性条件${\displaystyle \sigma }$和上同调类${\displaystyle \alpha }$。托马斯证明，对光滑族${\displaystyle Y_{t}}$，上述不变量也不变。最初研究者选择的是吉赛克稳定性条件，近年来又根据其他稳定条件对其他DT不变量进行了研究，从而得出了“穿墙公式”（wall-crossing formula）。[5]