叠 (数学)

有范畴c及到范畴C的函子，若对C中任意态射${\displaystyle F:X\to Y}$、c中任意对象y（在函子下都有像Y）都有y对F的回拉${\displaystyle f:x\to y}$，则函子与范畴c统称为C上的纤维范畴。这意味着，具有像F的态射使任意像为${\displaystyle G=F\circ H}$的态射${\displaystyle g:z\to y}$可通过c中的唯一态射${\displaystyle h:z\to x}$分解为${\displaystyle g=f\circ h}$，使函子从h映射到H。元素${\displaystyle x=F^{*}y}$称作y沿F的拉回，在规范同构意义上是唯一的。

若范畴c在C上纤维化，且对任意U、C的对象以及c中像为U的对象x、y，从上范畴C/U到集合的函子，取${\displaystyle F:\ V\to U}$到${\displaystyle {\rm {Hom}}(F*x,\ F*y)}$是层，则范畴c称作前叠。这一术语与层理论中的并不一致：前叠是分离的前层的类似物，而非前层。有人认为，这是叠而非前叠的性质。 若范畴c是C上的前叠，且每个下降数据（descent datum）都有效，则称范畴c是范畴C上具有格罗滕迪克拓扑的叠。下降数据大致包括：C中对象V被一族V_i覆盖，纤维元素x_i在V_i上，且x_i、x_j限制间的态射f_ji到达${\displaystyle V_{ij}=V_{i}\times _{V}V_{j}}$，并满足相容条件${\displaystyle f_{ki}=f_{kj}f_{ji}}$。若元素${\displaystyle x_{i}}$本质上是元素x的拉回，且x的像为V，则称下降数据有效。 若叠在广群也纤维化，即其纤维（C的对象的逆像）是广群，则称之为广群叠或 (2,1)层 。有人用“叠”指更具限制性的广群叠。

代数叠或阿廷叠是广群X中、fppf址上的叠，使X的对角映射是可表示的，且存在从某概形（与叠相关联）到X的光滑满射。若对从某概形（与叠相关联）到X的每个态射${\displaystyle S\rightarrow X}$，纤维积${\displaystyle Y\times _{X}S}$同构于（与叠相关联的）代数空间，则称叠的态射${\displaystyle Y\rightarrow X}$是可表示的。叠的纤维积由一般的泛性质定义，并将图交换的要求改为2交换。 对角可表示性背后的动机是：对角态射${\displaystyle \Delta$ :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}} 是可表示的，当且仅当对代数空间任意一对态射${\displaystyle X,Y\to {\mathfrak {X}}}$，其纤维积${\displaystyle X\times _{\mathfrak {X}}Y}$可表示。

德利涅–芒福德叠是代数叠X，使概形到X的平展满射存在。粗略地说，德利涅-芒福德叠可看作是对象没有无穷小自同构的代数叠。

自代数叠诞生以来，人们就期望它们是形式为${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/G]}$的局部商叠，其中${\displaystyle G}$是线性约化代数群。最近证明了这一点[1]给定在代数闭域k上有限类的拟分离的局部代数叠${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$，其稳定子为仿射，且${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}$是光滑闭点，有线性约化稳定子群${\displaystyle G_{x}}$，其中存在GIT商${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$的平展覆盖，当中${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }}$，使得图

${\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}$

是笛卡尔的，并存在平展态射

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}$

在${\displaystyle w}$、${\displaystyle x}$处引起稳定子群的同构。

• 从具有格罗滕迪克拓扑的范畴C出发的每个层${\displaystyle {\mathcal {F}}:C^{op}\to Sets}$可规范地转变为叠。对于对象${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)}$，而非集合${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$，有以${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$的元素为对象的广群，箭头为恒等态射。
• 更具体地说，令${\displaystyle h}$为反变函子

${\displaystyle h:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

则它决定了下面的范畴${\displaystyle H}$

1. 对象是一对${\displaystyle (X\to S,x)}$，包含概形${\displaystyle X\in (Sch/S)^{op}}$与元素${\displaystyle x\in h(X)}$
2. 态射${\displaystyle (X\to S,x)\to (Y\to S,y)}$包含态射${\displaystyle \phi :X\to Y\in (Sch/S)}$使得${\displaystyle h(\phi )(y)=x}$。

通过遗忘函子${\displaystyle p:H\to (Sch/S)}$，范畴H是${\displaystyle (Sch/S)}$上的纤维范畴。例如。若X是${\displaystyle (Sch/S)}$中的概形，则它就决定了反变函子${\displaystyle h=\operatorname {Hom} (-,X)}$，对应的纤维范畴就是与X相关的叠。叠（或前叠）可视为这种构造的变体的结果。事实上，任何具有准紧对角的概形${\displaystyle X}$都是与概形X相关联的代数叠。

• 群叠。
• 向量丛的模叠：向量丛${\displaystyle V\to S}$的范畴是拓扑空间范畴S上的叠。${\displaystyle V\to S}$到${\displaystyle W\to T}$的态射包含${\displaystyle S\to T}$、${\displaystyle V\to W}$的连续映射（在纤维上线性），这样有明显的平方交换。之所以说这是纤维范畴，是因为可在拓扑空间的连续映射上取向量丛的回拉；而之所以说下降数据是有效的，是因为可通过粘合开覆盖的元素上的向量丛，以构造空间上的向量丛。
• 概形上准相干层的叠（关于fpqc拓扑和更弱的拓扑）
• 基概形上仿射概形的叠（同样关于fpqc拓扑和更弱的拓扑）

若${\displaystyle X}$是概形${\displaystyle (Sch/S)}$、G是作用于X的光滑仿射群概形，则有商代数叠${\displaystyle [X/G]}$，[2]将概形${\displaystyle Y\to S}$带到S-概形Y上的G扭子的广群，当中G等变映射到X。明确地说，给定具有G作用的空间X，就形成叠${\displaystyle [X/G]}$，（直观地说）其将空间Y送到回拉图

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

的广群，其中${\displaystyle \Phi }$是空间的G等变态射，${\displaystyle Z\to Y}$是主G丛。此范畴中的态射只是图的态射，右侧箭头相等，左侧箭头为主G丛的态射。

X为点是特殊情形给出了光滑仿射群概形G的分类叠BG：${\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}$这样命名是因为范畴${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$（Y上的纤维）正是Y上主G丛的范畴${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$。

注意${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$本身可视作叠，即Y上主G丛的模叠。 这个构造的一个重要子例是${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$，其是主${\displaystyle GL_{n}}$丛的模叠。由于主${\displaystyle GL_{n}}$丛的数据等同于n秩向量丛的数据，这与n秩向量丛${\displaystyle Vect_{n}}$的模叠同构。

线丛的模叠是${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$，因为每个线丛都与一个主${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$丛规范同构。事实上，给定概形S上的线丛L，相对的spec

${\displaystyle {\underline {\text{Spec}}}_{S}({\text{Sym}}_{S}(L^{\vee }))\to S}$

给出了一个几何线丛。去掉零段的像，就得到了主${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$丛。反过来，可以从表示${\displaystyle id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})}$重建相关联的线丛。

束（Gerbe）是广群中的叠，总有非空范畴。例如对群G，给每个概形分配概形上主G丛的广群的平凡束${\displaystyle BG}$。

若A是概形S上的代数叠X中的准相干代数层，则有叠Spec(A)，其推广了交换环A的谱Spec(A)的构造。Spec(A)的对象由S概形T、${\displaystyle X(T)}$的对象x、从${\displaystyle x^{*}(A)}$到T的坐标环${\displaystyle O(T)}$的代数层的态射给出。

若A是概形S上的代数叠X中的分次代数的准相干层，则有叠Proj(A)，其推广了分次环A的射影概形Proj(A)的构造。

• Mumford (1965)研究了椭圆曲线的模叠M_1,1，并证明其皮卡第群是12阶循环群。对复数上的椭圆曲线，对应的叠相似于上半平面对模群作用的商。
• 代数曲线的模空间${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$定义为给定亏格g的光滑曲线的普遍族，并不作为代数簇出现，因为有些曲线允许非平凡自同构。但有模叠${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$，可以很好代替不存在的光滑亏格g曲线的精细模空间。更一般地说，有n个标记点的亏格‘’g曲线的模叠${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$。一般来说它是代数叠，对${\displaystyle g\geq 2}$或${\displaystyle g=1,n\geq 1}$或${\displaystyle g=0,n\geq 3}$（即当曲线的自同构群为有限群时）是德利涅-芒福德叠。这一模叠有一个完备化，包含稳定曲线（给定g、n）的模叠，其在Spec Z上是正规（proper）的。例如，${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$是射影一般线性群的分类叠${\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}$（定义${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$时必须用代数空间而非概形来构造） 。

另一类得到广泛研究的模空间是孔采维奇模空间，其参数化了亏格固定的曲线与像反映固定上同调类的空间X之间的固定映射的空间。这些模空间表示为[3]

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

并可能有不受控制的行为，如成为分量的维数不相等的可约叠。例如，[3]模叠

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}$

有由开子集${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$参数化的光滑曲线。在模空间边界上，曲线可能退化为可约曲线，存在参数化可约曲线的子叠，其0亏格分量和1亏格分量交于一点，映射将1亏格曲线送到一点。由于所有这样的1亏格曲线都由U参数化，且曲线在1亏格曲线的何处相交又有1维选择，因此边界分量的维度为10。

• 皮卡德叠推广了皮卡德簇。
• 形式化群法则的模叠分类了形式化群法则。
• 诸如有限射影空间、形式概形之类的ind概形是叠。
• F-层的模叠用于几何朗兰兹纲领。

构建加权射影空间要取某${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}$对${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$作用的商簇。特别地，作用将元组

${\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})}$

而此作用的商给出加权射影空间${\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})}$。由于这可看做是叠商，加权射影叠[4]^:30是

${\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

取线丛${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$中加权多项式的趋零轨道，可得叠加权射影簇。

叠曲线或轨线（orbicurve）可通过取曲线态射对一般点上的覆盖的单值群的叠商来构造。例如，取（通常是平展的）射影态射

${\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

域对${\displaystyle \mu _{5}}$的叠商给出带叠点的${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$，其在${\displaystyle x/y}$表的第5个单位根处具有稳定群${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$。这是因为这些点是覆盖的分歧点。

非仿射叠的例子如有两个叠原点的半线。其可构造为${\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$的两个包含的上极限。

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