内乘

在数学中，内乘（英語：，或译内积）是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子，定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场，那么

\iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)

是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 i_Xω，由性质

(\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})

所定义，对任何向量场 X₁,..., X_p−1。本质上来说，内乘可以定义在向量空间与外代数上，即只与流形的一点有关。

内乘也称为内乘法（或），或内导数（或）。

一些作者使用字母 $i$ 代替 $\iota$ ；内乘有时也写成 $\iota (X)$ 或者 $X\lrcorner \omega =\iota _{X}\omega$ 。

性质

由反对称性

\iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega

所以 $\iota _{X}^{2}=0$ 。

因为李导数与缩并可以交换，故：

{\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )=\iota _{[X,Y]}\omega +\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ ,

这便得出两个向量李括号的内乘公式：

\iota _{[X,Y]}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ .

内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出：

{\mathcal {L}}_{X}\omega =\mathrm {d} (\iota _{X}\omega )+\iota _{X}\mathrm {d} \omega \ .

这个等式在辛几何中非常重要：参见矩映射。

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