李导数

李导数有几种等价的定义。在本节，为简便起见，我们用标量场和向量场的李导数的定义开始。李导数也可定义在一般的张量上，如后面的章节所述。

李导数的定义可以从函数的微分开始。这样，给定一个函数${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$和一个M上的向量场X , f在点${\displaystyle p\in M}$的李导数定义为

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)=df(p)\,[X(p)]}$

其中${\displaystyle df}$是f的微分。也就是，${\displaystyle df:M\rightarrow T^{*}M}$是由下式给出的[1-形式]

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x^{a}}}dx^{a}}$.

这里，${\displaystyle dx^{a}}$是余切丛${\displaystyle T^{*}M}$的基向量。这样，记号${\displaystyle df(p)\,[X(p)]}$表示取f（在M中的点p）的微分和向量场X（在点p）的内积。

或者，可以先表明M上的光滑向量场X定义了一个M上的单参数曲线族。也就是，可以表明存在曲线${\displaystyle \gamma (t)}$在M上使得

${\displaystyle {\frac {d\gamma }{dt}}(t)=X(\gamma (t))}$

其中${\displaystyle p=\gamma (0)}$对于所有M中的点p成立。这个一阶常微分方程的解的存在性由皮卡-林德洛夫定理给出（更一般的，这种曲线的存在性是弗罗贝尼乌斯定理给出）。然后可以定义李导数为

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f(p)={\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\vert _{t=0}}$.

第三个可能的定义可以通过先定义一对向量场的李括号给出。首先注意到切空间的基向量可以写为${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$，所以一个向量场，用一组选定的基向量可以表示为

${\displaystyle X=X^{a}{\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$

定义李括号${\displaystyle [X,Y]}$为

${\displaystyle [X,Y]=X^{a}{\frac {\partial Y^{b}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{b}}}-Y^{a}{\frac {\partial X^{b}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{b}}}}$

然后定义向量场Y的李导数等于X和Y的李括号，也就是，

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$.

根据上面任选的一个定义，其他的定义可被证明为其等价形式。 例如，可以证明，对于一个可微函数f，

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f)=df(X)=X(f)}$

并且

${\displaystyle [X,Y]f=X(Y(f))-Y(X(f))}$.

我们用在1-形式${\displaystyle \omega =\omega _{a}dx^{a}}$上的李导数的定义来结束本节：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\left({\frac {\partial \omega _{b}}{\partial x^{a}}}X^{a}+{\frac {\partial X^{a}}{\partial x^{b}}}\omega _{a}\right)dx^{b}}$.

李导数有一些属性。令${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$为流形M上的函数组成的代数。则

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)}$

是一个在代数${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$上的导数。也就是， ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$是R-线性的，并且

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g}$.

类似的，它是${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}$上的一个导数，其中${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$是M上的向量场的集合：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}$

也可写为等价形式

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}$

其中张量积符号${\displaystyle \otimes }$用于强调函数和向量场的积在整个流形上取。

另外的性质和李括号的一致。所以，例如，作为向量场的导数，

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}$

容易发现上面就是雅可比恒等式。这样，就可以得到“装备了李括号的M上的向量空间是李代数”的重要结果。

李导数和外导数密切相关，因此和埃里·嘉当的微分流形理论相关。 两个都试图给出导数的思想，其差别几乎只是记号上的。这个区别可以通过引入反导数或等效的内积来消除。 这之后，两者的关系就体现在一组恒等式上。

令M为一个流形，X为M上一个向量场。令${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k+1}(M)}$为一k+1-形式。 X和ω的内积为

${\displaystyle i_{X}\omega (X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})}$

注意

${\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)}$

以及${\displaystyle i_{X}}$是${\displaystyle \wedge }$-反导数。也就是，${\displaystyle i_{X}}$是R-线性的，并且

${\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}$

对于${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$和另一个微分形式η成立。另外，对于一个函数${\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}$，那是一个实或复值 的M上的函数，有

${\displaystyle i_{fX}\omega =fi_{X}\omega }$

外导数和李导数的关系可以总结为以下这些。对于一般函数f，李导数就是外导数和向量场的内积：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df}$

对于一般的微分流形，李导数类似于内积，加上X的变化：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega )}$.

当ω为1-形式，上述恒等式经常写作

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).}$

导数的乘积是可分配的

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega }$

在微分几何中，如果我们有一个${\displaystyle (p,q)}$阶可微张量场（我们可以把它当作余切丛${\displaystyle T^{*}M}$的光滑截面${\displaystyle \alpha ,\beta ,\ldots }$和切丛${\displaystyle TM}$的截面${\displaystyle X,Y,\ldots }$的线性映射 ${\displaystyle T(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )}$），使得对于任何函数 ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{p},f_{p+1},\ldots ,f_{p+q}}$有

${\displaystyle T(f_{1}\alpha ,f_{2}\beta ,\ldots ,f_{p+1}X,f_{p+2}Y,\ldots )=f_{1}f_{2}\cdots f_{p+1}f_{p+2}\cdots f_{p+q}T(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )}$),

而且如果进一步有一个可微向量场（也就是切丛的一个光滑截面）${\displaystyle A}$，则线性映射

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{A}T)(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )\equiv \nabla _{A}T(\alpha ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )-\nabla _{T(\cdot ,\beta ,\ldots ,X,Y,\ldots )}\alpha (A)-\ldots +T(\alpha ,\beta ,\ldots ,\nabla _{X}A,Y,\ldots )+\ldots }$

独立于联络∇；只要它是无挠率的，事实上，这个映射是一个张量。这个张量称为${\displaystyle T}$关于${\displaystyle A}$的李导数。

换句话说，如果你有一个张量场${\displaystyle T}$和一个由向量场${\displaystyle U}$给出的微分同胚的无穷小生成元，则${\displaystyle {\mathcal {L}}_{U}T}$就是${\displaystyle T}$在这个无穷小微分同胚下的无穷小变化。

或者，给定向向量场${\displaystyle U}$，令ψ为${\displaystyle U}$的积分曲线族，向上面那样。注意ψ是一个局部单参数局部微分同胚群。令${\displaystyle \psi ^{*}}$为由ψ诱导的拉回（pullback）。则张量${\displaystyle T}$在${\displaystyle p}$点的李导数如下

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{U}T={\frac {d}{dt}}\left(\psi _{t}^{*}T\right)\vert _{\psi (t)=p}}$.

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• 测地线
• 协变导数
• 联络

• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.6.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 2.2.
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.