四次平面曲线

&符號曲線（ampersand curve）是以下方程對應的四次曲線

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

其亏格為0，有三個一般的雙點，都在實數平面上。[1]

Bean曲線（bean curve）是以下方程對應的四次曲線

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$

其亏格為0，在原點有一個奇点，是一個一般的三次點[2] [3]。

bicuspid是方程式如下的四次曲線：

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$

其中a決定了曲線的大小。 bicuspid只有二個node為奇異點，因此是虧格為1的曲線。 [4]

Bow曲線是方程式如下的四次曲線：

${\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,}$

在x=0, y=0處有單一的三重點，是有理曲線，虧格為0。 [5]

Cruciform曲線是以下方程的四次曲線

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$

其中a和b為決定曲線形狀的参数。 Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換x ↦ 1/x, y ↦ 1/y轉變為橢圓a²x² + b²y² = 1，因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在实射影平面中有三個雙重點，是（x=0、y=0），（x=0 、z=0） 以及（y=0、z=0）。 [6]

此曲線是有理曲線，參數化後的結果也是有理函數。例如，令a=1及b=2，可得以下的參數式

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

其中唯一一個無法參數化的點是會讓參數式分母為零的點。

Spiric截面可以定義成對x軸及y軸對稱的圓代數四次平面曲线。Spiric截面包括在環面曲線中，其中包括了hippopede及卡西尼卵形线。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。

笛卡儿坐标系下的方程式為

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

極座標系的方程式為

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

三葉線（three-leaved clover）是以下方程的四次平面曲線

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

在求解y後，曲線可以表示為以下的方程：

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$

其中二個±是彼此獨立的，因此每一個x會對應四個y值。

三葉線的參數式為

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$[7]

在極坐標（x = r cos φ, y = r sin φ）下的方程如下

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$

這是玫瑰线中k = 3的特例。 三葉線在原點處為三重點，有三個二切線。