因數

任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式。这个过程称为质因数分解

如果 ${\displaystyle A\in \mathbb {N} ^{+}}$, 那么

${\displaystyle A=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}}$, 其中 ${\displaystyle p_{i}}$ 是一个素数.

这种表示方法是唯一的。

自然数 ${\displaystyle N}$ 的因数个数以 ${\displaystyle d(n)}$ 表示。

若 ${\displaystyle N}$ 唯一分解为 ${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}$, 则 ${\displaystyle d(N)=(a_{1}+1)\times (a_{2}+1)\times (a_{3}+1)\times \cdots \times (a_{n}+1)=\prod _{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)}$.

例如 ${\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}$，则其正因数个数 ${\displaystyle d(2646)=(1+1)\times (3+1)\times (2+1)=24}$。

自然数N的正因数和，以因数函数 ${\displaystyle \sigma (N)}$ 表示。由质因数分解而得。

若 ${\displaystyle N}$ 唯一分解为 ${\displaystyle N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}}$, 则 ${\displaystyle \sigma (N)=\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)}$.

再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (N)&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}}$

例如${\displaystyle 2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}}$，则其正因数之和

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (2646)&=(1+2)\times (1+3+9+27)\times (1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}}$。