递归可枚举语言

递归可枚举语言定义：设S ⊆ Σ^*为一个语言，E是一个枚举器，若L（E） = S，则称E 枚举了语言S。若存在这样 的E，S就称为递归可枚举语言。

注意，枚举器E可以以任意的顺序枚举语言L（E），而且L（E） 中的某个串可能会被E多次重复地打印。

图灵可识别语言定义：设${\displaystyle M}$是一台图灵机，若在输入串${\displaystyle \omega }$上${\displaystyle M}$运行后可进入接受状态并停机，则称${\displaystyle M}$接受串${\displaystyle \omega }$。${\displaystyle M}$所接受的所有字符串的集合称为${\displaystyle M}$所识别的语言，简称${\displaystyle M}$的语言，记作${\displaystyle L(M)}$。

设${\displaystyle S\subseteq \Sigma ^{*}}$是一个语言，若存在图灵机${\displaystyle M}$使得${\displaystyle L(M)=S}$，则称图灵机${\displaystyle M}$ 识别${\displaystyle S}$，且${\displaystyle S}$称为图灵可识别语言。

递归可枚举语言在下列运算下是闭合的。就是说，如果L和P是两个递归可枚举语言，则下列语言也是递归可枚举的：

• L的Kleene星号${\displaystyle L^{*}}$
• L和P的串接${\displaystyle L\circ P}$
• 并集${\displaystyle L\cup P}$
• 交集${\displaystyle L\cap P}$

注意递归可枚举语言不闭合于差集和补集之下。

注意图灵可识别语言和图灵可判定语言的区别：若${\displaystyle S}$是图灵可识别语言，则只需存在一台图灵机${\displaystyle M}$，当${\displaystyle M}$的输入${\displaystyle \omega \in S}$时，${\displaystyle M}$一定会停机并进入接受状态；当${\displaystyle M}$的输入${\displaystyle \omega \notin S}$时，${\displaystyle M}$可能停机并进入拒绝状态，或者永不停机。而若${\displaystyle S}$是图灵可判定语言，则必须存在图灵机${\displaystyle M}$，使得对于任意输入串${\displaystyle \omega \in \Sigma ^{*}}$，${\displaystyle M}$总能停机，并根据${\displaystyle \omega }$ 属于或不属于 ${\displaystyle S}$分别进入接受或拒绝状态。

并不是所有的语言都是图灵可识别的，可以证明存在图灵不可识别语言。

• 波斯特定理
• 克莱尼–波斯特定理
• 弗里德堡–穆奇尼克定理
• 波斯纳–罗宾逊定理
• 跳躍逆轉定理

• 图灵机
• 枚举器
• 递归语言
• 递归可枚举集合