圆幂定理

圓冪定理（英語：），是平面幾何中的一個定理。這定理指出，給定一個圓 $Γ$ 以及一點 $P$ ，從該點引出兩條割線，分別與 $Γ$ 相交於 $A$ 、 $B$ 以及 $C$ 、 $D$ ，則有

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PC}}\cdot {\overline {PD}}

這個乘積，是 $P$ 對於 $Γ$ 的圓冪（英語：），故定理以此為名。

圓冪定義

在圖中，

O

是圓心，

OA = OT

是半徑

r

（藍色），

OP

是點到圓心的距離

s

（橙色），

PT

是切線（紅色），

PMN

是割線（黑色）。

平面上任意一點 $P$ ，以及半徑為 $r$ 、圓心為 $O$ 的圓，則定義圓冪 $h$ 為：

h=OP^{2}-r^{2}

。[1]

從這個定義可知，若 $P$ 在圓內，則圓冪為負數；若 $P$ 在圓外，則圓冪為正數；若 $P$ 在圓周上，則有圓冪等於零。

圓冪又可等價地定義為：從該點穿過圓心的割線，與圓所作的兩個交點，與該點距離的乘積。也就是說：

h={\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}

。

理由如下：

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}=(s-r)(s+r)=s^{2}-r^{2}=h

。

定理內容

圓冪定理有三個變體，分別是「相交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。[2]

相交弦定理

在圖中，圓心為

O

，圓上有兩弦

AB

及

CD

，相交於

E

設有一圓，圓上有兩條弦 $AB$ 及 $CD$ ，它們相交於 $E$ ，則有

{\overline {EA}}\cdot {\overline {EB}}={\overline {EC}}\cdot {\overline {ED}}

這個乘積，是 $E$ 的圓冪的相反數 $- h$ 。這是因為圓冪為非正數，而線段的乘積為正數。

割線定理

設有一圓，圓外有一點 $P$ ，引出兩條割線，分別與圓相交於 $A$ 、 $B$ 以及 $M$ 、 $N$ ，則有

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PM}}\cdot {\overline {PN}}

這個乘積，是 $P$ 的圓冪 $h$ 。

切割線定理

設有一圓，圓外有一點 $P$ ，引出一條割線，與圓相交於 $A$ 、 $B$ ，又引出一條切線，與圓相切於 $T$ ，則有

{\overline {PA}}\cdot {\overline {PB}}={\overline {PT}}^{2}

這個乘積，同樣是 $P$ 的圓冪 $h$ 。

證明

交弦定理

從同弓形內圓周角的性質可知， $Δ AED$ 與 $Δ CEB$ 是相似三角形，因此

{\frac {EA}{EC}}={\frac {ED}{EB}}

整理可得

EA\cdot EB=EC\cdot ED

證明完畢。

割線定理

從同弓形內圓周角的性質可知， $Δ PAM$ 與 $Δ PNB$ 是相似三角形，因此

{\frac {PA}{PM}}={\frac {PN}{PB}}

整理可得

PA\cdot PB=PM\cdot PN

證明完畢。

切割線定理

從內錯弓形圓周角的性質可知， $Δ PAT$ 與 $Δ PTB$ 是相似三角形，因此

{\frac {PA}{PT}}={\frac {PT}{PB}}

整理可得

PA\cdot PB={PT}^{2}

證明完畢。

參見

根軸——到兩圓圓冪相等的點的軌跡

參考資料

Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html （页面存档备份，存于）
Coxeter, H. S. M., (2nd Edition), New York: Wiley, 1969

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[1] Weisstein, Eric W. Circle Power. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html （页面存档备份，存于）

[2] Coxeter, H. S. M., (2nd Edition), New York: Wiley, 1969