基爾霍夫積分定理

點P被包圍在閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$內。

根據格林第二恆等式，假若在體積${\displaystyle \mathbb {V} }$內，函數${\displaystyle \phi }$和${\displaystyle \psi }$都是二次連續可微，則

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\left(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi \right)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\oint _{\mathbb {S} }\left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$；

其中，閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$是體積${\displaystyle \mathbb {V} }$的表面，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$是從閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$向外指出的微小面元素向量。

這方程式的左手邊是積分於體積${\displaystyle \mathbb {V} }$，右手邊是積分於這體積的閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$。

設定函數${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$滿足單色波的亥姆霍茲波動方程式：

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\psi (\mathbf {r} )=0}$。

設定${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$為一種格林函數，是可以描述傳播於自由空間、滿足數值在無窮遠為零的邊界條件的圓球面出射波：

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {e^{ikR}}{4\pi R}}}$；

其中，${\displaystyle R=|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$。

這函數${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$滿足關係式

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\phi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$是三維狄拉克δ函數。

將${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$、${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$的滿足式代入，則格林第二恆等式變為

${\displaystyle -\int _{\mathbb {V} }\psi (\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} )\nabla \left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\nabla \psi (\mathbf {r} )\right]\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$。

為了標記原因，對換無單撇號與有單撇號的變量。這樣，${\displaystyle \mathbf {r} }$標記檢驗位置，${\displaystyle \mathbf {r} '}$標記源位置：

${\displaystyle -\int _{\mathbb {V} }\psi (\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} ')\nabla '\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\nabla '\psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} '}$。

假若波擾${\displaystyle \mathbf {r} }$的位置在體積${\displaystyle \mathbb {V} }$內，即點P被包圍在閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$內，則${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$寫為

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\left[\psi (\mathbf {r} ')\nabla '\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\nabla '\psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} '}$。

閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$是由閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$與閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$共同組成。點P處於曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$之內，曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$之外。

上述公式應用於點P被包圍在閉合曲面內的物理案例，即從位於閉合曲面的次波源所發射出的次波，在閉合曲面內的點P所產生的波擾。大多數衍射案例計算，從延伸尺寸波源發射出的波，其波前所形成的閉合曲面，在閉合曲面的所有次波源，所發射出的次波，在閉合曲面外的點P所產生的波擾；對於這些案例，點P在閉合曲面之外，延伸波源在閉合曲面之內。這公式也可以推導為點P在閉合曲面外，波源在閉合曲面之內的物理案例。如右圖所示，假設閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$是由閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$與閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$共同組成，曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$被包圍在曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$的內部。點P處於曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$之內，曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$之外。

讓曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$的半徑趨於無窮大，則對於曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$的任意點Q，${\displaystyle R\to r'}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {R} }}\to -{\hat {\mathbf {r} '}}}$，被積函數趨向於零，快過${\displaystyle r'}$平方反比的趨向於零，滿足「索莫菲輻射條件」（Sommerfeld radiation condition），因此在曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{2}}$的總貢獻為零。[2]所以，在點P的波擾為

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} _{1}}\left[\psi (\mathbf {r} ')\nabla '\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\nabla '\psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} '}$。

注意到微小面元素向量${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '}$的方向是從曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$向內指入。現在，將微小面元素向量${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '}$的方向改為與原本方向相反：${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '\to -\mathrm {d} \mathbf {S} '}$，即從閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$向外指出，則可得到基爾霍夫積分定理的表達式：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} _{1}}\left[\psi (\mathbf {r} ')\nabla '\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)\nabla '\psi (\mathbf {r} ')\right]\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} '}$。

假設${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$是與${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} '}$同方向的單位向量，是垂直於閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$的法向量。那麼，法向導數與梯度的關係為

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n'}}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}\cdot \nabla '}$。

所以，基爾霍夫積分定理的另一種表達式為

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} _{1}}\left[\psi (\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right){\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]\,\mathrm {d} S'}$。

總結，只考慮單色波，位於點P的波擾${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$，可以以位於閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} _{1}}$的所有波擾${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ')}$與其梯度${\displaystyle \nabla '\psi (\mathbf {r} ')}$來表達。[2]

對於非單色波，必須使用更廣義的形式。以傅立葉積分來表達非單色波的分解：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\psi _{\omega }(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}\mathrm {d} \omega }$；

其中，${\displaystyle \omega =kc}$是角速度，${\displaystyle c}$是光速。

根據傅立葉反演公式（Fourier inversion formula）：

${\displaystyle \psi _{\omega }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi (\mathbf {r} ,t)e^{i\omega t}\mathrm {d} t}$。

對於每一個傅立葉分量${\displaystyle \psi _{\omega }}$，應用基爾霍夫積分定理，可以得到

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\left[\psi _{\omega }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right){\frac {\partial \psi _{\omega }(\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]\,\mathrm {d} S'}$。

將這公式代入${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$的傅立葉積分公式：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} \omega \ e^{-i\omega t}\left\{{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\mathrm {d} S'\left[\psi _{\omega }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{ikR}}{R}}\right){\frac {\partial \psi _{\omega }(\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]\right\}}$。

設定${\displaystyle k=\omega /c}$，注意到推遲時間${\displaystyle t_{r}=t-R/c}$出現在相位因子裏，必須將光波傳播的時間納入計算。更換積分次序，公式變為

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\mathrm {d} S'\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} \omega \left[\psi _{\omega }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {e^{-i\omega t_{r}}}{R}}\right)-\left({\frac {e^{-i\omega t_{r}}}{R}}\right){\frac {\partial \psi _{\omega }(\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]\right\}\\&={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\mathrm {d} S'\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {d} \omega \left[\psi _{\omega }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {1}{R}}\right)+\psi _{\omega }(\mathbf {r} ')\left({\frac {i\omega }{Rc}}\right){\frac {\partial R}{\partial n'}}-\left({\frac {1}{R}}\right){\frac {\partial \psi _{\omega }(\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\right]e^{-i\omega t_{r}}\right\}\\\end{aligned}}}$

在時間${\displaystyle t}$，位於點P的波擾${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$，可以以位於閉合曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的所有波擾在其推遲時間${\displaystyle t_{r}}$的數值${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ',t_{r})}$與其法向導數${\displaystyle \partial \Psi (\mathbf {r} ',t_{r})/\partial n'}$來表達：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} }\mathrm {d} S'\left\{\Psi (\mathbf {r} ',t_{r}){\frac {\partial }{\partial n'}}\left({\frac {1}{R}}\right)+\Psi (\mathbf {r} ',t_{r})\left({\frac {i\omega }{Rc}}\right){\frac {\partial R}{\partial n'}}-\left({\frac {1}{R}}\right){\frac {\partial \Psi (\mathbf {r} ',t_{r})}{\partial n'}}\right\}}$。

這就是推廣後的基爾霍夫積分定理。[3]

光波是傳播於空間的電磁輻射，理當被視為一種電磁場向量現象。但是，基爾霍夫的理論是純量理論，將光波當作純量處理，這可能會造成偏差。因此，物理學者做了很多實驗來檢查結果是否準確。他們發現，只要孔徑尺寸比波長大很多、孔徑與觀察屏之間的距離不很近，則使用純量理論可以得到相當準確的答案。但是對於某些問題，例如高解析度光柵衍射，純量理論就不適用，必須使用向量理論。[4]

• 衍射
• 帕松光斑
• 推遲勢
• 黎納-維謝勢