塞邁雷迪定理

若自然数集的子集 A 滿足

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0,}$

則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有正的上密度，則對任意的正整數 k, 該子集都包含無窮多個長為 k 的（公差不為 0) 的等差數列。

定理另有一個等價的有限性敍述（即不牽涉「無窮」的）：對任意的正整數 k 和實數 ${\displaystyle \delta \in (0,1],}$都存在正整數

${\displaystyle N=N(k,\delta )}$

使得 {1, 2, ..., N} 的每個至少 δN 元的子集，都包含長為 k 的等差數列。

定義 r_k(N) 為 {1, 2, ..., N} 的子集當中，不包含長為 k 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界

${\displaystyle r_{k}(N)=o(N).}$

換言之，r_k(N) 隨 N 的增長慢於線性。

范德瓦尔登定理是塞邁雷迪定理的先驅，其於 1927 年獲證。

塞邁雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情況顯然成立。 k = 3 的結論關乎薩萊姆-斯賓塞集（不包含 3 項等差數列的整數子集）的大小。1953 年，克勞斯·羅特[2] 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法，證明了 k = 3 的結論。1969 年，塞迈雷迪·安德烈[3]利用組合學方法證明了 k = 4 的情況。在 1972 年，羅特[4]利用類似自己證明 k = 3 的情況的方法，給出了 k = 4 的情況的另證。

塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 k 的證明。[5] 他巧妙地擴展了自己先前對 k = 4 的情況的組合論證，艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning")[6]. 定理亦有若干其他證明，較重要的有：1977 年希勒尔·菲尔斯滕贝格利用遍历理论給出的證明[7][8]，以及 2001 年高爾斯結合傅里叶分析和组合数学給出的證明[9]。陶哲轩稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」，因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。[10]

r_k(N) 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為

${\displaystyle CN\exp \left(-n2^{(n-1)/2}{\sqrt[{n}]{\log N}}+{\frac {1}{2n}}\log \log N\right)\leq r_{k}(N)\leq {\frac {N}{(\log \log N)^{2^{-2^{k+9}}}}},}$

其中 ${\displaystyle n=\lceil \log k\rceil .}$歐布萊恩（Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界[11] ，其證明建基於貝哈連德（Felix Behrend)[12]、羅伯特·藍欽[13]，以及埃爾金（Michael Elkin) [14][15]先前的成果。上界由高爾斯證出。[9]

對於較小的 k, 可以找到比起一般情況更緊的上下界。當 k = 3 時，布爾甘[16][17]、希思-布朗 (Roger Heath-Brown)[18]、塞邁雷迪[19]，以及湯·桑德斯[20]依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為

${\displaystyle N2^{-{\sqrt {8\log N}}}\leq r_{3}(N)\leq C{\frac {(\log \log N)^{4}}{\log N}}N.}$

兩邊的界限分別由歐布萊恩[11] 和布魯姆（Thomas Bloom) [21] 給出。

當 k = 4 時，本·格林和陶哲軒[22][23] 證明了存在 c > 0 使得

${\displaystyle r_{4}(N)\leq C{\frac {N}{(\log N)^{c}}}.}$

希勒尔·菲尔斯滕贝格和伊扎克·卡茨內勒松利用遍歷理論整明了塞邁雷迪定理的高維推廣。[24] 高爾斯[25]、沃伊傑赫·勒德爾和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan) [26][27] ，以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和馬蒂亞斯·沙赫特[28] ，和陶哲軒[29]給出了各自的組合學證明。

亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman) 和維塔利·別爾格爾松[30] 給出定理對多項式列的推廣：若 ${\displaystyle A\subset \mathbb {N} }$的上密度為正，且 ${\displaystyle p_{1}(n),p_{2}(n),\dotsc ,p_{k}(n)}$為滿足 ${\displaystyle p_{i}(0)=0}$的整值多項式，則存在無窮多組 ${\displaystyle u,n\in \mathbb {Z} }$使得對${\displaystyle 1\leq i\leq k}$都有 ${\displaystyle u+p_{i}(n)\in A.}$ 萊布門和別爾格爾松的結果同樣適用於高維的情況。

塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。[31] 定理在有限域上的類比，是有助理解原定理（在正整數集上）的模型。[32] 所謂封頂集問題，就是要找出向量空間 ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}$所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小，即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。

格林-陶定理斷言，存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出，因為質數集的密度為 0. 本·格林和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」（英語：) 的塞邁雷迪定理，該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集（允許密度為 0)。大衛·康倫，雅各布·福克斯和趙宇飛[33] (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。[34][35]

埃尔德什等差数列猜想（斷言倒數和發散的集合，必有任意長的等差數列）可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。

• 與等差數列有關的問題
• 遍歷拉姆齊理論
• 算術組合學
• 塞邁雷迪正則性引理

• Tao, Terence. Granville, Andrew; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József , 编. . CRM Proceedings & Lecture Notes 43. Providence, RI: American Mathematical Society: 145–193. 2007. Bibcode:2006math......4456T. ISBN 978-0-8218-4351-2. MR 2359471. Zbl 1159.11005. arXiv:math/0604456 . |chapter=被忽略 (帮助)

• Announcement by Ben Green and Terence Tao （页面存档备份，存于） – the preprint is available at math.NT/0404188
• Discussion of Szemerédi's theorem (part 1 of 5) （页面存档备份，存于）
• Ben Green and Terence Tao: Szemerédi's theorem （页面存档备份，存于） on Scholarpedia
• 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
• Grime, James; Hodge, David. . Numberphile. 布雷迪·哈蘭. 2012 [2019-06-17]. （原始内容存档于2014-01-09）.