自发对称破缺

假定遍佈於宇宙的希格斯場是由兩個實函數${\displaystyle \phi _{1}}$、${\displaystyle \phi _{2}}$組成的複值純量場${\displaystyle \phi }$：

${\displaystyle \phi (x^{\alpha })=\phi _{1}(x^{\alpha })+i\phi _{2}(x^{\alpha })}$；

其中，${\displaystyle x^{\alpha }=(ct,x_{1},x_{2},x_{3})}$是四維坐標。

假定希格斯勢的形式為

${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )=\mu ^{2}\phi ^{*}\phi +\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}$；

其中，${\displaystyle \mu }$、${\displaystyle \lambda }$都是正值常數。

則這物理系統只有一個最低能量態，其希格斯場為零（${\displaystyle \phi _{vac}=0}$）

對於這自旋為零、質量為零、勢能為${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}$的純量場${\displaystyle \phi }$，克莱因-戈尔登拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$為[8]^:16-17

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\alpha }\phi )^{*}(\partial ^{\alpha }\phi )-\mu ^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}$。

注意到這拉格朗日量的第一個項目是動能項目。

由於拉格朗日量對於全域相位變換${\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }$具有不變性，而最低能量態對於全域相位變換也具有不變性：

${\displaystyle \phi _{vac}\to \phi '_{vac}=e^{i\theta }\phi _{vac}=0}$，

所以，這物理系統對於全域相位變換具有外顯的對稱性。

假定遍佈於宇宙的希格斯場是由兩個實函數${\displaystyle \phi _{1}}$、${\displaystyle \phi _{2}}$組成的複值純量場${\displaystyle \phi }$：

${\displaystyle \phi (x^{\alpha })=\phi _{1}(x^{\alpha })+i\phi _{2}(x^{\alpha })}$；

其中，${\displaystyle x^{\alpha }=(ct,x_{1},x_{2},x_{3})}$是四維坐標。

假定希格斯勢的形式為

${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )=-\mu ^{2}\phi ^{*}\phi +\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}$；

其中，${\displaystyle \mu }$、${\displaystyle \lambda }$都是正值常數。

對於這自旋為零、質量為零、勢能為${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}$的純量場${\displaystyle \phi }$，克莱因-戈尔登拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}}$為[8]^:16-17

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\alpha }\phi )^{*}(\partial ^{\alpha }\phi )+\mu ^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2}}$。

如墨西哥帽繪圖所示，這勢能的猜想形狀好似一頂墨西哥帽。希格斯勢與拉格朗日量在${\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}$、${\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}$空間具有旋轉對稱性。位於z-坐標軸的帽頂為希格斯勢的局域最大值，其複值希格斯場為零（${\displaystyle \phi =0}$），但這不是最低能量態；在帽子的谷底有無窮多個簡併的最低能量態。從無窮多個簡併的最低能量態中，物理系統只能實現出一個最低能量態，標記這最低能量態為${\displaystyle \phi _{vac}}$。這物理系統的拉格朗日量對於全域相位變換${\displaystyle \phi \to \phi '=e^{i\theta }\phi }$具有不變性，即在${\displaystyle \phi _{\mathrm {RE} }}$、${\displaystyle \phi _{\mathrm {IM} }}$空間具有旋轉對稱性，而最低能量態${\displaystyle \phi _{vac}}$對於全域相位變換不具有不變性：

${\displaystyle \phi _{vac}\to \phi '_{vac}=e^{i\theta }\phi _{vac}}$，

通常，${\displaystyle \phi _{vac}}$不等於${\displaystyle \phi '_{vac}}$，除非角弧${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle 2\pi }$的整數倍數。所以，這物理系統對於全域相位變換的對稱性被自發打破。這物理系統對於更嚴格的局域相位變換的對稱性也應該會被自發打破。

在最簡單的理想相對論性模型裏，自發對稱破缺可以由純量場理論（scalar field theory）來概述。理論而言，自發對稱破缺一般是從拉格朗日量來探討。拉格朗日量可拆作動能部分和勢能部分。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )}$。

對稱性破缺來自於其勢能部分${\displaystyle V(\phi )}$。如墨西哥帽繪圖所示，

${\displaystyle V(\phi )=-10|\phi |^{2}+|\phi |^{4}}$。

這個勢能有無限多個可能的勢能最低點（真空態）：

${\displaystyle \phi ={\sqrt {5}}e^{i\theta }}$；

其中，${\displaystyle \theta }$值介於${\displaystyle 0}$到${\displaystyle 2\pi }$之間。

${\displaystyle F(\phi )=\int (\partial \phi )^{2}/2+m^{2}\phi ^{2}/2+g(\phi ^{2})^{2}}$

若${\displaystyle \psi =\phi _{1}+i\phi _{2}}$

${\displaystyle F(\psi )=\int |\partial \psi |^{2}/2+m^{2}|\psi |^{2}/2+g|\phi |^{4}}$

基态是${\displaystyle |\psi |=M=M_{0}={\sqrt {-m^{2}/(2g)}}}$。

若${\displaystyle \psi (x)=M(x)e^{i\theta (x)}}$以及${\displaystyle M(x)=M_{0}+h(x)}$

${\displaystyle F(h,\theta )=\int (\partial h)^{2}/2+|m^{2}|h^{2}+gh^{4}+\ldots +M_{0}^{2}(\partial \theta )^{2}/2+M_{0}h(\partial \theta )^{2}+\ldots }$

南部玻色子场${\displaystyle \theta (x)}$是无质量的（也是一维高斯自由场）。南部玻色子的作用量是

${\displaystyle F(\theta )=\int M_{0}^{2}(\partial \theta )^{2}/2}$