多面體半形

多面體半形,為一類型的射影多面體,同時也是抽象多面體。其可透過將點對稱球面多面體進行對映映射後得到。多面體半形的面數只有原多面體的一半,而且投影平面上位於邊緣的對角頂點、對角邊、對角面皆視為相同幾何元素。存在半形體的多面體的必要條件為其原像須具備點對稱的特性,而向正四面體不具備點對稱的特性[1],因此正四面體不存在半形體。

性質

若兩多面體互為對偶多面體,則其對應的半形體也互為對偶多面體。例如立方體正八面體互為對偶多面體,則立方體半形正八面體半形也互為對偶多面體。多面體的半形體皆為不可定向圖形。[2]

種類

正多面體半形

除了正四面體外,其他正多面體都存在半形體[3][4][5][6]


立方體半形

八面體半形

十二面體半形

二十面體半形

均勻多面體半形

部分阿幾米德立體和卡塔蘭立體也可以存在半形體[7][8]


截半立方體半形原像截半立方體[7]

菱形十二面體半形原像菱形十二面體

截角二十面體半形原像截角二十面體

多面形半形

多面形是一種球面多面體,由球面的一點與其對蹠點相連接而成,並將球面分成多個部分。若球面被分割的數量為偶數,則該多面形存在半形體。例如二面形、四面形、六面形等多面形皆存在半形體。[9]

前幾個多面形半形性質如下:

n 名稱 施萊夫利符號 頂點 原始立體 原始立體的元素數
f:面, e:邊, v:頂點
對偶多面體 皮特里對偶
2 二面形半形 {2,2}1[9] 111二面形f:2, e:2, v:2 (自身對偶) 一角形二面體
(f:2, e:1, v:1)[10]
4 四面形半形 {2,4}4[9] 221四面形f:4, e:4, v:2 正方形二面體半形
{4,4}1,0
(f:1, e:2, v:1)[11]
6 六面形半形 {2,6}3[9] 331六面形f:6, e:6, v:2 六邊形二面體半形
{3,6}1,1
(f:2, e:3, v:1)[12]
8 八面形半形 {2,8}8[9] 441八面形f:8, e:8, v:2 八邊形二面體半形 S2:{8,8}
(f:1, e:4, v:1)[13]
2n 2n面形半形 nn12n面形f:2n, e:2n, v:2 2n邊形二面體半形 (不一定)

多邊形二面體半形

多邊形二面體是指多邊形在三維空間中不會僅有一個面,其正面與反面會成對出現,因此稱為多邊形二面體。而成對出現的面(正面與反面)則滿足多面體半形的定義,僅要原始多邊形具備點對稱特性及可取半形,例如正方形二面體可以取半形體,成為正方形二面體半形。[9][14]

多邊形二面體半形是一種多面體半形,屬於抽象正多面體,有著多邊形二面體一半的面。其對應於圖論中的循環圖[15]僅有偶數邊數的多邊形二面體可以存在多面體半形。2p邊形二面體半形具有1個面、p條邊和p個頂點,虧格為1,在施萊夫利符號中可以用{2p,2}/2表示。[9][15]

前幾個多邊形二面體半形性質如下:

n 名稱 施萊夫利符號 頂點 原始立體 原始立體的元素數
f:面, e:邊, v:頂點
對偶多面體 皮特里對偶
4
正方形二面體半形
{4,2}4[9] 122正方形二面體f:2, e:4, v:4 四面形半形[16] (自身皮特里對偶)[16]
6
六邊形二面體半形
{6,2}3[9] 133六邊形二面體f:2, e:6, v:6 六面形半形 三角形二面體
(f:2, e:3, v:3)[17]
8
八邊形二面體半形
{8,2}8[9] 144八邊形二面體f:2, e:8, v:8 八面形半形[18] (自身皮特里對偶)[18]

參考文獻

  1. Henry Cohn. . Mathematical physics, Nature. 2009, (460): 801–802 [2021-07-31]. doi:10.1038/460801a. (原始内容存档于2021-07-31).
  2. Carlo H. Séquin, , CS Division, University of California, Berkeley, CA, 2021-07 [2021-07-31], (原始内容存档于2021-07-31)
  3. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2019-05-02).
  4. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2016-03-04).
  5. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2017-03-16).
  6. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2016-08-29).
  7. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2021-01-26).
  8. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2021-08-02).
  9. . Regular Map database - map details. [2021-07-31]. (原始内容存档于2019-12-28).
  10. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2021-07-31).
  11. . Regular Map database - map details. [2021-07-24].
  12. . Regular Map database - map details. [2021-07-24].
  13. . Regular Map database - map details. [2021-07-24].
  14. N.S.Wedd. . Regular Map database, weddslist.com. [2021-07-24]. (原始内容存档于2020-01-28).
  15. Séquin, Carlo. (PDF). Berkeley University. [2020-08-14]. (原始内容存档 (PDF)于2015-09-23).
  16. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2020-02-01).
  17. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2016-03-14).
  18. . Regular Map database - map details. [2021-07-24]. (原始内容存档于2016-03-14).

外部連結

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.