大O符号

給定兩個定義在實數某子集上的關於${\displaystyle x}$的函數${\displaystyle f(x)}$和${\displaystyle g(x)}$，當${\displaystyle x}$趨近於無窮大時，存在正实數${\displaystyle M}$，使得對於所有充分大的${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)}$的絕對值小於等於${\displaystyle M}$乘以${\displaystyle g(x)}$的絕對值，那麼我們就可以說，當${\displaystyle x\to \infty }$時，

${\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))}$

也就是說，假如存在正實數${\displaystyle M}$和實數${\displaystyle x}$₀，使得對於所有的${\displaystyle x\geq x_{0}}$，均有：${\displaystyle |f(x)|\leq \ M|g(x)|}$成立，我們就可以認爲，${\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))}$。

在很多情況下，我們會省略“當${\displaystyle x}$趨近於無限大時”這個前提，而簡寫爲：

${\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))}$

此概念也可以用於描述函數${\displaystyle f}$在接近實數${\displaystyle a}$時的行爲，通常${\displaystyle a=0}$。當我們說，當${\displaystyle x\to a}$時，有${\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))}$，也就相當於稱，當且僅當存在正實數${\displaystyle M}$和實數${\displaystyle \delta }$，使得對於所有的${\displaystyle 0\leq |x-a|\leq \delta }$，均有${\displaystyle |f(x)|\leq \ M|g(x)|}$成立。

如果當${\displaystyle x}$和${\displaystyle a}$足夠接近時，${\displaystyle g(x)}$的值仍不爲0，這兩種定義就可以統一用上極限來表示：

當且僅當${\displaystyle \limsup _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\infty }$時，有${\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))}$。

在具体的运用中，我们不一定使用大O符号的标准定义，而是使用几条简化规则来求出关于函数${\displaystyle f}$的大O表示：

• 假如${\displaystyle f(x)}$是几项之和，那么只保留增长最快（通常是阶最高）的项，其他项省略。
• 假如${\displaystyle f(x)}$是几项之积，那么常数（不取决于x的乘数）省略。

比如，使${\displaystyle f(x)=6x^{4}-2x^{3}+5}$，我们想要用大O符号来简化这个函数，来描述${\displaystyle x}$接近无穷大时函数的增长情况。此函数由三项相加而成，${\displaystyle 6x^{4}}$，${\displaystyle -2x^{3}}$和${\displaystyle 5}$。由于增长最快的是${\displaystyle 6x^{4}}$这一项（因为阶最高，在x接近无穷大时，其对和的影响会大大超过其余两项），应用第一条规则，保留它而省略其他两项。对于${\displaystyle 6x^{4}}$，由两项相乘而得，${\displaystyle 6}$和${\displaystyle x^{4}}$；应用第二条规则，${\displaystyle 6}$是无关x的常数，所以省略。最后结果为${\displaystyle x^{4}}$，也即${\displaystyle g(x)=x^{4}}$。故有：

由${\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))}$，可得：

${\displaystyle 6x^{4}-2x^{3}+5=O(x^{4})}$

我们可以将上式扩展为标准定义形式：

对任意${\displaystyle x\geq x_{0}}$，均有${\displaystyle |f(x)|\leq M|g(x)|}$，也就是${\displaystyle 6x^{4}-2x^{3}+5\leq M|x^{4}|}$

可以（粗略）求出${\displaystyle M}$和${\displaystyle x_{0}}$的值来验证。使${\displaystyle x_{0}=1}$：

${\displaystyle {\begin{aligned}|6x^{4}-2x^{3}+5|&\leq 6x^{4}+|2x^{3}|+5\\&\leq 6x^{4}+2x^{4}+5x^{4}\\&\leq 13x^{4}\end{aligned}}}$

故${\displaystyle M}$可以为13。故两者都存在。

下面是在分析算法的时候常见的函数分类列表。所有这些函数都处于${\displaystyle n}$趋近于无穷大的情况下，增长得慢的函数列在上面。${\displaystyle c}$是一个任意常数。

符号	名称
${\displaystyle \mathrm {O} (1)\!}$	常数（阶，下同）
${\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!}$	对数
${\displaystyle \mathrm {O} [(\log n)^{c}]\!}$	多对数
${\displaystyle \mathrm {O} (n)\!}$	线性，次线性
${\displaystyle \mathrm {O} (n\log ^{*}n)\!}$	${\displaystyle \log ^{*}n}$為迭代对数
${\displaystyle \mathrm {O} (n\log n)\!}$	线性对数，或对数线性、拟线性、超线性
${\displaystyle \mathrm {O} (n^{2})\!}$	平方
${\displaystyle \mathrm {O} (n^{c}),\operatorname {Integer} (c>1)}$	多项式，有时叫作“代数”（阶）
${\displaystyle \mathrm {O} (c^{n})\!}$	指數，有时叫作“几何”（阶）
${\displaystyle \mathrm {O} (n!)\!}$	阶乘，有时叫做“组合”（阶）

大O是最经常使用的比较函数的渐近符号。

符号	定义
${\displaystyle f(n)=\mathrm {O} (g(n))}$	渐近上限
${\displaystyle f(n)=o(g(n))}$	Asymptotically negligible渐近可忽略不计（${\displaystyle \lim {}{\frac {f(n)}{g(n)}}=0}$）
${\displaystyle f(n)=\Omega (g(n))}$	渐近下限（当且仅当${\displaystyle g(n)=\mathrm {O} (f(n))}$）
${\displaystyle f(n)=\omega (g(n))}$	Asymptotically dominant渐近主导（当且仅当${\displaystyle g(n)=o(f(n))}$）
${\displaystyle f(n)=\Theta (g(n))}$	Asymptotically tight bound渐近紧约束（当且仅当${\displaystyle f(n)=\mathrm {O} (g(n))}$且${\displaystyle f(n)=\Omega (g(n))}$）

大O符号经常被误用：有的作者可能会使用大O符号表达大Θ符号的含义。因此在看到大O符号时应首先确定其是否为误用。

• O（拉丁字母）
• 小o符號
• 大Ω符号
• 大Θ符号