奥恩斯坦-乌伦贝克过程

在数学中，奥恩斯坦-乌伦贝克过程（Ornstein-Uhlenbeck process，简称OU过程）是一个随机过程，在金融数学和物理学中有很多的引用。OU过程描述一个经历摩擦的布朗粒子（damped random walk）。[1]

这个过程以奥恩斯坦（Leonard Ornstein）和乔治·乌伦贝克的名字命名。

这是一个自迴歸模型AR(1)。

θ =1.0，σ =3和μ =(0,0) 粒子在(10,10)开始

定义

θ =1.0，σ =3, μ =(0,0,0) 粒子在(10,10,10)开始

OU过程有下面的随机微分方程

$dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}$

其中的 $\theta >0$ ， $\sigma >0$ 是参数，并且 $W_{t}$ 是维纳过程。[2][3][4]

$dx_{t}=\theta (\mu -x_{t})\,dt+\sigma \,dW_{t}$

$\mu$ 是常值。上面的方程是Vasicek模型。[5]

福克–普朗克方程

OU过程的福克–普朗克方程是[6]

${\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}(xP)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}$

$D=\sigma ^{2}/2$ 。这是一个抛物偏微分方程。方程的解是

$P(x,t\mid x',t')={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t')})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x'e^{-\theta (t-t')})^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t')}}}\right]$

三个OU进程，θ = 1, μ = 1.2, σ = 0.3:
蓝：在a = 0 开始（几乎必然）
绿：在a=2开始
红：初始值呈正态分布

参考文献

MacLeod, C. L.; Ivezić, Ž; Kochanek, C. S.; Kozłowski, S.; Kelly, B.; Bullock, E.; Kimball, A.; Sesar, B.; Westman, D. . The Astrophysical Journal. October 2010, 721: 1014. doi:10.1088/0004-637X/721/2/1014 （英语）.
Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E., 2nd, Springer-Verlag: 358, 1991, ISBN 978-0-387-97655-6
Gard, Thomas C., , Marcel Dekker: 115, 1988, ISBN 978-0-8247-7776-0
Gardiner, C.W., 2nd, Springer-Verlag: 106, 1985, ISBN 978-0-387-15607-1
Björk, Tomas. 3rd. Oxford University Press. 2009: 375, 381. ISBN 978-0-19-957474-2.
Risken, H., , Springer-Verlag: 99–100, 1984, ISBN 978-0-387-13098-9
Chan et al. (1992)

阅读

Bibbona, E.; Panfilo, G.; Tavella, P. . Metrologia. 2008, 45 (6): S117–S126. Bibcode:2008Metro..45S.117B. doi:10.1088/0026-1394/45/6/S17.
Chan, K. C.; Karolyi, G. A.; Longstaff, F. A.; Sanders, A. B. . Journal of Finance. 1992, 47 (3): 1209–1227. doi:10.1111/j.1540-6261.1992.tb04011.x.
Doob, J.L. . Annals of Mathematics. April 1942, 43 (2): 351–369. JSTOR 1968873. doi:10.2307/1968873.
Gillespie, D. T. (PDF). Phys. Rev. E. 1996, 54 (2): 2084–2091 [2020-02-11]. Bibcode:1996PhRvE..54.2084G. PMID 9965289. doi:10.1103/PhysRevE.54.2084. （原始内容 (PDF)存档于2022-03-01）.
Leung, Tim; Li, Xin. . International Journal of Theoretical & Applied Finance. 2015, 18 (3): 1550020. arXiv:1411.5062 . doi:10.1142/S021902491550020X.
Risken, H. . New York: Springer-Verlag. 1989. ISBN 978-0387504988.
Uhlenbeck, G. E.; Ornstein, L. S. . Phys. Rev. 1930, 36 (5): 823–841. Bibcode:1930PhRv...36..823U. doi:10.1103/PhysRev.36.823.
Martins, E.P. . Amer. Nat. 1994, 144 (2): 193–209.

外部链接

Review of Statistical Arbitrage, Cointegration, and Multivariate Ornstein–Uhlenbeck （页面存档备份，存于）, Attilio Meucci
A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management, Damiano Brigo, Antonio Dalessandro, Matthias Neugebauer and Fares Triki
Simulating and Calibrating the Ornstein–Uhlenbeck process, M. A. van den Berg
Maximum likelihood estimation of mean reverting processes （页面存档备份，存于）, Jose Carlos Garcia Franco
. [2015-07-03]. （原始内容存档于2015-09-20）.

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[1] MacLeod, C. L.; Ivezić, Ž; Kochanek, C. S.; Kozłowski, S.; Kelly, B.; Bullock, E.; Kimball, A.; Sesar, B.; Westman, D. . The Astrophysical Journal. October 2010, 721: 1014. doi:10.1088/0004-637X/721/2/1014 （英语）.

[2] Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E., 2nd, Springer-Verlag: 358, 1991, ISBN 978-0-387-97655-6

[3] Gard, Thomas C., , Marcel Dekker: 115, 1988, ISBN 978-0-8247-7776-0

[4] Gardiner, C.W., 2nd, Springer-Verlag: 106, 1985, ISBN 978-0-387-15607-1

[5] Björk, Tomas. 3rd. Oxford University Press. 2009: 375, 381. ISBN 978-0-19-957474-2.

[6] Risken, H., , Springer-Verlag: 99–100, 1984, ISBN 978-0-387-13098-9

[7] Chan et al. (1992)

奥恩斯坦-乌伦贝克过程

定义

福克–普朗克方程

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