威沙特分佈

假設X為一n × p矩陣，其各行（row）來自同一均值向量為${\displaystyle \mathbf {0} }$的${\displaystyle p}$維多變量常態分佈且彼此獨立。

${\displaystyle X_{(i)}{=}(x_{i}^{1},\dots ,x_{i}^{p})^{T}\sim N_{p}(0,V),}$

則威沙特分佈為${\displaystyle p\times p}$散異矩陣

${\displaystyle S=X^{T}X=\sum _{i=1}^{n}X_{(i)}X_{(i)}^{T},\,\!}$

的機率分佈。

${\displaystyle \mathbf {S} }$有該機率分佈通常記為

${\displaystyle \mathbf {S} \sim W_{p}(\mathbf {V} ,n).}$

其中正整數${\displaystyle n}$為自由度。有時亦記號為${\displaystyle W(\mathbf {V} ,p,n)}$。若${\displaystyle p=1}$且${\displaystyle \mathbf {V} =1}$則該分佈退化為一自由度為${\displaystyle n}$的單變量卡方分佈。

威沙特分佈常用於多變量的概似比檢定，亦用於隨機矩陣的頻譜理論中。

威沙特分佈具有下述的機率密度函數：

令'${\displaystyle \mathbf {W} }$為一${\displaystyle p\times p}$正定對稱隨機變數矩陣。令${\displaystyle \mathbf {V} }$為一特定正定${\displaystyle p\times p}$矩陣。

如此，若${\displaystyle n>p}$，則${\displaystyle \mathbf {W} }$服從於一具自由度n的威沙特分佈且有機率度函數${\displaystyle f_{W}}$

${\displaystyle f_{\mathbf {W} }(w)={\frac {\left|w\right|^{(n-p-1)/2}\exp \left[-{\rm {trace}}({\mathbf {V} }^{-1}w/2)\right]}{2^{np/2}\left|{\mathbf {V} }\right|^{n/2}\Gamma _{p}(n/2)}}}$

其中${\displaystyle \Gamma _{p}(\cdot )}$為多變量Gamma分佈，其定義為

${\displaystyle \Gamma _{p}(n/2)=\pi ^{p(p-1)/4}\Pi _{j=1}^{p}\Gamma \left[(n+1-j)/2\right].}$

上述定義可推廣至任一實數${\displaystyle n>p-1}$[2]

威沙特分佈的特徵函數為

${\displaystyle \Theta \mapsto \left|{\mathbf {I} }-2i\,{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right|^{-n/2}.}$

也就是說

${\displaystyle \Theta \mapsto {\mathcal {E}}\left\{\mathrm {exp} \left[i\cdot \mathrm {trace} ({\mathbf {W} }{\mathbf {\Theta } })\right]\right\}=\left|{\mathbf {I} }-2i{\mathbf {\Theta } }{\mathbf {V} }\right|^{-n/2}}$

其中${\displaystyle {\mathcal {E}}(\cdot )}$為期望值

（這裡的${\displaystyle \Theta }$及${\displaystyle {\mathbf {I} }}$ 皆為與${\displaystyle {\mathbf {V} }}$維度相同的矩陣。（${\displaystyle {\mathbf {I} }}$ 為單位矩陣，而${\displaystyle i}$為－1的平方根）.[3]

若${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {W} }}$為一自由度為m，共變異矩陣為${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {V} }}$的威沙特分佈，記為—${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {W} }\sim {\mathbf {W} }_{p}({\mathbf {V} },m)}$—其中${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {C} }}$為一${\displaystyle q\times p}$的q秩矩陣，則[4]

${\displaystyle {\mathbf {C} }{\mathbf {W} }{\mathbf {C} '}\sim {\mathbf {W} }_{q}\left({\mathbf {C} }{\mathbf {V} }{\mathbf {C} '},m\right).}$

由於威沙特分佈可視為一多變量常態分佈其共變異矩陣的最大概似估計量（MLE）的分佈，其衍自MLE的計算可為令人驚喜地簡約而優雅。[6] 基於頻譜理論，可將一純量視為一${\displaystyle 1\times 1}$矩陣的跡（trace）。請參考共變異矩陣的估計。

以下的演算法取材自 Smith & Hocking (1972)。[7]一個來自自由度為n及共變異矩陣為${\displaystyle \mathbf {V} }$的威沙特分佈的${\displaystyle p\times p}$（其中${\displaystyle n\geq p}$）隨機樣本可以如下方式抽樣而得：

1. 生成一隨機${\displaystyle p\times p}$下三角矩陣 ${\displaystyle {\textbf {A}}}$使得：
   • ${\displaystyle a_{ii}=(\chi _{n-i+1}^{2})^{1/2}}$，意即 ${\displaystyle a_{ii}}$為一${\displaystyle \chi _{n-i+1}^{2}}$卡方分佈隨機樣本的平方根。
   • ${\displaystyle a_{ij}}$其中${\displaystyle j<i}$，為一${\displaystyle N_{1}(0,1)}$常態分佈的隨機樣本。[8]
2. 計算${\displaystyle {\textbf {V}}={\textbf {L}}{\textbf {L}}^{T}}$的Cholesky分解。
3. 計算${\displaystyle {\textbf {X}}={\textbf {L}}{\textbf {A}}{\textbf {A}}^{T}{\textbf {L}}^{T}}$。此時，${\displaystyle {\textbf {X}}}$ 為一${\displaystyle W_{p}({\textbf {V}},n)}$的隨機樣本。

若${\displaystyle {\textbf {V}}={\textbf {I}}}$，則因${\displaystyle {\textbf {V}}={\textbf {I}}{\textbf {I}}^{T}}$，可以直接以${\displaystyle {\textbf {X}}={\textbf {A}}{\textbf {A}}^{T}}$進行抽樣。

• 共變異矩陣的估計
• Hotelling的T平方分佈
• 逆威沙特分佈