字度量

考慮整數群${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$。若取生成集合${\displaystyle S=\{\pm 1\}}$，那麼兩個整數${\displaystyle m,n}$之間的字度量是${\displaystyle d_{S}(m,n)=\left|-m+n\right|}$。

若取另一個生成集合${\displaystyle S'=\{\pm 2,\pm 3\}}$，則${\displaystyle m}$和${\displaystyle m+1}$之間的字度量${\displaystyle d_{S'}(m,m+1)=2}$，因為${\displaystyle -m+(m+1)}$用${\displaystyle S'}$所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的長度為2。

從字度量的定義可以看出，群於自身的左乘作用${\displaystyle k\cdot g\mapsto kg}$下，字度量不變：

${\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(kg,kh)}$

（因為${\displaystyle (kg)^{-1}(kh)=g^{-1}h}$。）

一個群${\displaystyle G}$給出不同的生成集合，對應的字度量可以不同。不過，如果${\displaystyle G}$是有限生成的，則兩個有限的生成集合${\displaystyle S_{1},S_{2}}$所給出的字度量是雙利普希茨的，即存在常數${\displaystyle C>1}$使得對任何${\displaystyle g,h\in G}$都有

${\displaystyle {\frac {1}{C}}d_{S_{1}}(g,h)\leq d_{S_{2}}(g,h)\leq Cd_{S_{1}}(g,h)}$

證明如下：${\displaystyle S_{1}}$中的各元素用${\displaystyle S_{2}}$表示成的字，其中最長的長度設為${\displaystyle C_{1}}$。那麼每個用${\displaystyle S_{1}}$表示成的字，都可用${\displaystyle S_{2}}$改寫成不超過${\displaystyle C_{1}}$倍的長度的字。故此

${\displaystyle d_{S_{2}}(g,h)\leq C_{1}d_{S_{1}}(g,h)}$

同樣地，有

${\displaystyle d_{S_{1}}(g,h)\leq C_{2}d_{S_{2}}(g,h)}$

取${\displaystyle C}$為${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{2}}$的較大者，得出不等式。