对称函数

给定任意一个n元函数f，其在阿贝尔群中取值。可对参数的所有排列求和，构造得对称函数。同样，对偶置换求和、再减去奇置换的求和，就可构造出反对称函数。这些运算不可逆，而且很可能使得非平凡的f变为等于0的常数函数。若已知f的对称化与反对称化，则只能恢复二元的f，且阿贝尔群允许除以2（加倍的逆），这时f等于其对称化与反对称化之和的一半。

• 考虑实值函数
  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3}).}$$

  

  由定义，n元对称函数满足以下性质

  $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{2},x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{3},x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n-1}),\quad {\text{ etc.}}}$$

  

  一般来说，变量的排列不影响函数值。本例中

  $${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$$

  

  以此类推，适用于${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$的所有排列。

• 考虑函数
  $${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$$

  

  若x、y互换，函数变为

  $${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2},}$$

  

  结果与原${\displaystyle f(x,y)}$相同。

• 再考虑函数
  $${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}.}$$

  

  若x、y互换，函数变为

  $${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$$

  

  若${\displaystyle a\neq b}$，这样就和原函数不一样了，因此是非对称函数。

• 交错多项式
• 基本对称多项式
• 奇函数与偶函数
• 对称随机变量
• 准对称函数
• 对称函数环
• 对称化
• 范德蒙多项式

• F. N. David, M. G. Kendall & D. E. Barton (1966) Symmetric Function and Allied Tables, Cambridge University Press.
• Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, & Catherine H. Yan (2009) Combinatorics: The Rota Way, §5.1 Symmetric functions, pp 222–5, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-73794-4.