射影线性群

射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群（一般记作 PGL），是某个系数域为${\displaystyle \mathbb {K} }$的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说，射影线性群是商群：

${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(V)={\mathcal {GL}}(V){\bigg /}\mathbb {K} (V)}$

其中的${\displaystyle {\mathcal {GL}}(V)}$是V上的一般线性群，而${\displaystyle \mathbb {K} (V)}$是由V上的所有数乘变换构成的${\displaystyle {\mathcal {GL}}(V)}$的子群[1]。之所以在${\displaystyle {\mathcal {GL}}(V)}$中约去${\displaystyle \mathbb {K} (V)}$，是因为它们在射影空间上的作用是平凡的（所以构成群作用的核）。${\displaystyle \mathbb {K} (V)}$ 有时也被记作 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(V)}$，因为它是一般线性群的中心。

与射影线性群类似的还有射影特殊线性群，一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似，只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。

${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {SL}}(V)={\mathcal {SL}}(V){\bigg /}{\mathcal {SZ}}(V)}$

其中的${\displaystyle {\mathcal {SL}}(V)}$是V上的特殊线性群，而${\displaystyle {\mathcal {SZ}}(V)}$是${\displaystyle \mathbb {K} (V)}$在${\displaystyle {\mathcal {SL}}(V)}$中的子群（即行列式等于1的数乘变换构成的子群）[1]。显然 ${\displaystyle {\mathcal {SZ}}(V)}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {SL}}(V)}$ 的中心。若${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}$（n 维空间），则 ${\displaystyle {\mathcal {SZ}}(V)}$ 同构于由n 次单位根构成的群。

射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群，即所谓的“经典群”。射影线性群中的元素称为射影线性变换。${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{n}}$（n 维空间），那么这个射影线性群也记作${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(n,\mathbb {K} )}$ 或 ${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}_{n}(\mathbb {K} )}$。

当且仅当 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中每一个元素的n 次根都在 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 中，例如在 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 代数封闭（比如是复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$）的时候，射影线性群与射影特殊线性群等同。${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {C} )=\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(2,\mathbb {C} )}$。但是系数域为实数的时候，就有${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {R} )>\mathbb {P} {\mathcal {SL}}(2,\mathbb {R} )}$[2]。几何的解释是：实射影直线是有向的，而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。

射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义，一个重要的例子是模群${\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(2,\mathbb {Z} )}$。