對數平均

根據均值定理

${\displaystyle \exists \xi \in [x,y]:\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

若將${\displaystyle f}$改為${\displaystyle \ln }$，對數平均可以由 ${\displaystyle \xi }$來求得

${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}$

求解${\displaystyle \xi }$。

${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}$

對數平均也可以表示為指數函數以下的面積。

${\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{array}}}$

面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。 因為指數函數為單調函數，長度為1區間的的積分會在${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$之間。積分算子的齐次性轉移到平均算子，因此${\displaystyle L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)}$.

對數平均可推廣到${\displaystyle n+1}$變數，考慮對數n階導數的均差中值定理。 可以得到:${\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}}$ 其中${\displaystyle \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}$為對數的均差。

若${\displaystyle n=2}$，會變成

${\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}}$.

積分的表示法也可以推廣到多變數，但結果不同。 假設单纯形 ${\displaystyle S}$ 其中${\displaystyle S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}):\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}}$及適當的量度${\displaystyle \mathrm {d} \alpha }$可以使单纯形得到1的體積，可得

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha }$

利用指數函數的均差可以簡化如下

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]}$.

例如${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x,y,z)=-2\cdot {\frac {x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}}}$.