局部緊

緊豪斯多夫空間必然局部緊，此種例子見於條目緊空間，略舉三例如下：

• 單位區間${\displaystyle [0,1]}$、
• 康托爾集、
• 希爾伯特立方。

• 歐氏空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$（特例有數軸${\displaystyle \mathbb {R} }$）為局部緊（海涅-博雷尔定理的推論）。
• 拓撲流形的局部性質與歐氏空間一樣，故亦為局部緊，甚至長直線之類的非仿緊的流形亦然。
• 離散空間皆局部緊及豪斯多夫（其為零維流形）。僅當離散空間為有限集時，該空間為緊。
• 任意局部緊豪斯多夫空間的開或閉子集，在子空間拓撲的意義下，皆為局部緊。由此有歐氏空間局部緊子集的若干例子，如單位圓盤（不論開或閉）。
• p進數空間${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$為局部緊，因為同胚於康托爾集刪去一點。因此，局部緊空間不只在古典數學分析中有用，在P進數分析亦然。

若豪斯多夫空間為局部緊，則必為吉洪諾夫空間，詳見下節。條目吉洪諾夫空間中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫，故必不局部緊。

此外，也有吉洪諾夫空間非局部緊，例如：

• 有理數空間${\displaystyle \mathbb {Q} }$（配備${\displaystyle \mathbb {R} }$的子空間拓撲），因為每個鄰域都有柯西序列收斂到無理數，而不在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中，從而不是緊鄰域。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$的子空間${\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}$，因為原點並無緊鄰域。
• 實數集${\displaystyle \mathbb {R} }$的下限拓撲（上限拓撲亦同），適用於研究單邊極限。
• 任何無窮維拓撲向量空間，但要柯爾莫果洛夫（T₀，從而豪斯多夫），例如無窮維的希爾伯特空間。

首兩個例子說明，局部緊空間的子集不必局部緊，與前節開（或閉）子集的情況相對。末一個例子，則與前節歐氏空間的情況相對；具體言之，豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊，當且僅當其為有限維（等同歐氏空間）。此例亦與希爾伯特立方作為緊空間的情況相對，但並無矛盾，因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。

• 有理數空間${\displaystyle \mathbb {Q} }$的單點緊化是緊空間，從而在意義1及2下是局部緊，但在意義3下則不然。
• 任何無窮集上的特定點拓撲在意義1及3下是局部緊，但在意義2下則不然，因為任何鄰域的閉包皆是整個空間，故不為緊集。實軸上的上拓撲也同樣。
• 所以，若取前兩項例子的不交並，則在意義1下局部緊，但在意義2及3下不然。
• 謝爾賓斯基空間在意義1、2、3下皆局部緊，且是緊空間，但不是豪斯多夫空間（甚至並不預正則），故不是意義4下的局部緊空間。可數多個謝爾賓斯基空間的不交並（同胚於亞爾馬·埃克達爾拓撲（Hjalmar Ekdal topology）[6]）非緊，但仍是意義1、2、3下的局部緊空間，而不是意義4下的局部緊空間。

設${\displaystyle X}$為局部緊豪斯多夫空間，則${\displaystyle X}$作為吉洪諾夫空間，固然能藉斯通－切赫緊化，嵌入到緊豪斯多夫空間${\displaystyle b(X)}$，但有了局部緊的特殊性質，則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間，稱為單點緊化。新空間${\displaystyle a(X)}$僅比${\displaystyle X}$多一點。（單點緊化適用於其他空間，但所得的${\displaystyle a(X)}$為豪斯多夫，當且僅當${\displaystyle X}$本身是局部緊且豪斯多夫。）所以，局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集。

${\displaystyle a(X)}$多出的一點可直觀視為無窮遠點，此點不在${\displaystyle X}$的任何緊子集中。因此，所謂趨向無窮之事，有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。 舉例，定義在${\displaystyle X}$上的連續實值或複值函數${\displaystyle f}$稱為消失於無窮遠，是指給定任意正實數${\displaystyle \varepsilon }$，${\displaystyle X}$皆有緊子集${\displaystyle K}$，使${\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }$對${\displaystyle K}$外的一切點${\displaystyle x}$成立。前述定義適用於任意拓撲空間${\displaystyle X}$，而在${\displaystyle X}$為局部緊豪斯多夫的特例，等價於${\displaystyle f}$能延拓成單點緊化${\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}$上的連續函數${\displaystyle g}$，使${\displaystyle g(\infty )=0}$。

消失於無窮遠的連續複值函數之集合${\displaystyle C_{0}(X)}$是C*代數。反之，可交換的C*代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間${\displaystyle X}$的${\displaystyle C_{0}(X)}$，其中${\displaystyle X}$在同胚意義下唯一。以範疇言之，局部緊空間範疇與交換C*代數範疇對偶，其證法用到蓋爾范德表示[7]。前一範疇中，${\displaystyle X}$加入無窮遠點，變成${\displaystyle a(X)}$之事，在後一範疇對應向${\displaystyle C_{0}(X)}$添加單位元。

拓撲群論中，局部緊是重要概念，因為每個豪斯多夫局部緊群${\displaystyle G}$都自然配備哈爾測度，因而在${\displaystyle G}$上定義可測函數的積分。實數軸${\displaystyle \mathbb {R} }$的勒貝格測度為其特例。

拓撲交換群${\displaystyle A}$的龐特里亞金對偶為局部緊，當且僅當${\displaystyle A}$是局部緊。又以範疇言之，龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶。研究局部緊交換群，為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。