謝爾賓斯基空間

• 在謝爾賓斯基空間中，0和1這兩點是拓撲可區分的，這是因為${\displaystyle \{1\}}$是一個只包含這兩者其中一點的開集之故，因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間（${\displaystyle T_{0}}$空間）。
• 然而謝爾賓斯基空間不是一個${\displaystyle T_{1}}$空間，這是因為${\displaystyle \{1\}}$這個單點集不是閉集之故，也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間或${\displaystyle T_{n}}$空間（其中${\displaystyle n\geq 1}$）。
• 然而謝爾賓斯基空間不是正則空間或完全正则空间，這是因為1這個點及其不相交集合${\displaystyle \{0\}}$不能以鄰域分離之故（另外點能以鄰域分離的${\displaystyle T_{0}}$空間是豪斯多夫空間）。
• 然而謝爾賓斯基空間可視為正规空间和完全正规空间，這是因為這空間中沒有非空的分离集合所致。
• 然而謝爾賓斯基空間不是完美正规空间，這是因為其彼此不相交的閉合${\displaystyle \varnothing }$和${\displaystyle \{0\}}$無法由函数完全分离所致。事實上，謝爾賓斯基空間的${\displaystyle \{0\}}$不能是任何連續函數${\displaystyle S\to R}$的零集（zero set），而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。

• 謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含1所致）和特連通空間（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含0所致）。
• 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路连通空间。
• 一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路${\displaystyle f:I\to S}$可定義如次：${\displaystyle f(0)=0}$且對於所有的${\displaystyle t>0}$而言${\displaystyle f(t)=1}$，這個函數是連續的，因為${\displaystyle f^{-1}(1)=(0,1]}$在${\displaystyle I}$是開集。
• 和所有的有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。
• 謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間（contractible space），因此其基本群是個當然群（這點對高階同倫群（higher homotopy groups）也成立）。

• 和所有有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個緊緻空間和第二可數空間。
• 謝爾賓斯基空間的緊子集${\displaystyle \{1\}}$不是閉集，而這顯示了${\displaystyle T_{0}}$空間的緊集不必然是閉集。
• 任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身，這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故，因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋，就是${\displaystyle \{S\}}$。
• 而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間（fully normal space，仿紧空间的一個子類）。[4]

• 任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0，這是因為在謝爾賓斯基空間當中，0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。
• 在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1，當且僅當該序列僅有有限多項為0。
• 在謝爾賓斯基空間當中，1是某序列的一個聚集点，當且僅當該序列包含無限多項的1。
• 例子如下：
  • 1不是${\displaystyle (0,0,0,0,...)}$這序列的聚集点。
  • 1是${\displaystyle (0,1,0,1,0,1,...)}$這序列的聚集点1，但並非極限點。
  • ${\displaystyle (1,1,1,1,...)}$這序列同時收斂至0和1。

• 謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間，甚至也不是可偽度量化的空間，這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正则空间，而謝爾賓斯基空間就連正则空间都不是之故。
• 謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成，其中${\displaystyle d(0,1)=0}$且${\displaystyle d(1,0)=1}$。

• 謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數：恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。
• 而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群（英语：homeomorphism group）是當然群。

上述的結構可以用范畴论的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇到集合范畴的反變函子${\displaystyle T:Top\to Set}$將每個拓樸空間${\displaystyle X}$給指派給其開集的集合${\displaystyle T(X)}$，並將每個連續函數${\displaystyle f:X\to Y}$給指派給其原像：

${\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).}$

而相關敘述如下：${\displaystyle T}$這個函子由${\displaystyle (S,\{1\})}$表示，其中${\displaystyle S}$為謝爾賓斯基空間，也就是說，${\displaystyle T}$和同態函子（Hom functor）${\displaystyle Hom(-,S)}$間有著自然同構，而這自然同構由泛元素${\displaystyle \{1\}\in T(S)}$決定，而這可由预层的概念一般化。[6]

任何的拓樸空間${\displaystyle X}$都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族${\displaystyle C(X,S)}$所引致的初拓扑。事實上，若要將${\displaystyle X}$的拓樸變得更加粗糙，那就必須將一些開集給移除；然而若將開集${\displaystyle U}$給移除，那麼${\displaystyle \chi _{U}}$這個函數就會變得不連續，因此在${\displaystyle C(X,S)}$當中的每個函數都連續的情況下，${\displaystyle X}$有著最粗糙的拓樸。

函數的集族${\displaystyle C(X,S)}$區分${\displaystyle X}$上的點，當且僅當${\displaystyle X}$是個${\displaystyle T_{0}}$空間。${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$這兩點可由指示函数${\displaystyle \chi _{U}}$區分，當且僅當開集${\displaystyle U}$包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$拓樸可區分的確實含意。

也就是說，若${\displaystyle X}$是個${\displaystyle T_{0}}$空間，那就可以將${\displaystyle X}$給嵌入謝爾賓斯基空間的积空间中，在其中對於每個${\displaystyle X}$的開集${\displaystyle U}$而言，都有一個${\displaystyle S}$的複本與之對應。其嵌入函數

${\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}}$

可由下列函數得出：

${\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,}$

由於${\displaystyle T_{0}}$空間的子空間和积空间還是${\displaystyle T_{0}}$空間之故，因此一個拓樸空間是${\displaystyle T_{0}}$空間，當且僅當其與謝爾賓斯基空間的积空间的某個子空間同胚。